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面と点の距離（非正則行列の逆行列）
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正方行列でない行列の逆行列とは、どんなものか。
という疑問の答えの一つがこれです。
２つのベクトルの張る平面
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三次元空間内で、
原点を通る二本のベクトル $\bm{a}=(a_1,a_2,a_3)^t$ [*]_ と $\bm{b}=(b_1,b_2,b_3)^t$ で
張られる平面 $(x,y,z)^t=s\bm{a}+t\bm{b}$ と、点P $\bm{r}=(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)^t$
との距離 $X$ が最短距離を示す時の $s$ と $t$ の値を求めます。
つまり、
.. [*] 右上の $ t $ は、転置を表します。
<tex>
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2 \\
a_3 & b_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
s \\
t
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1 \\
z_1
\end{pmatrix}
\leftrightarrow
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
が最も近づく時を考えます。
それには、距離 $X^2$ が最小値を取る時を考えればよいです。
つまりは、 $s,t$ の二次式なので、平方完成を行います。
実際に計算してみると、
<tex>
X^2 &= (x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2 \\
&= (a_1s+b_1t-x_0)^2+(a_2s+b_2t-y_0)^2+(a_3s+b_3t-z_0)^2 \\
&= (a_1^2+a_2^2+a_3^2)s^2+2(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)st+(b_1^2+b_2^2+b_3^2)t^2 \\
&- 2(a_1x_0+a_2y_0+a_3z_0)s- 2(b_1x_0+b_2y_0+b_3z_0)t+(x_0^2+y_0^2+z_0^2) \\
&= |\bm{a}|^2s^2+2\bm{a}\cdot\bm{b}st+|\bm{b}|^2t^2-2\bm{a}\cdot\bm{r}s-2\bm{b}\cdot\bm{r}t+|r|^2 \\
&\equiv \alpha s^2+ 2 \beta st + \gamma t^2 - 2 \delta s -2 \varepsilon t + \zeta \tag{##}
</tex>
最後の行で、ギリシャ文字 $\alpha,\beta, \cdot ,\zeta$ を定義しました。
順番アルファ、ベータ、ガンマ、デルタ、イプシロン、ゼータと読みます。
さらに計算を続けると、
<tex>
X^2 &= \alpha s^2+ 2 \beta st + \gamma t^2 - 2 \delta s -2 \varepsilon t + \zeta \\
&= \alpha(s+\frac{\beta t -\delta}{\alpha})^2-\frac{(\beta t-\delta)^2}{\alpha}+\gamma t^2 - 2 \varepsilon t +\zeta \\
&= \alpha(s+\frac{\beta t -\delta}{\alpha})^2+(\gamma -\frac{\beta^2}{\alpha})t^2 +2(\frac{\beta \delta}{\alpha}
-\varepsilon)t+\zeta -\frac{\delta^2}{\alpha} \\
&= \alpha(s+\frac{\beta t -\delta}{\alpha})^2+(\gamma -\frac{\beta^2}{\alpha})
(t+\dfrac{\dfrac{\beta \delta}{\alpha}-\varepsilon}{\gamma-\dfrac{\beta^2}{\alpha}})^2 \\
&+ \dfrac{(\dfrac{\beta \delta}{\alpha}-\varepsilon)^2}{\gamma - \dfrac{\beta^2}{\alpha}} \tag{##}
</tex>
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-12-28@@
@@category:物理数学@@
@@id:variantInverseMatrix@@
記事ソース/面と点の距離（非正則行列の逆行列） のバックアップの現在との差分(No.1)
