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超関数入門
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超関数の計算方法を簡単に例示してみることにします。
超関数の計算で基本になるのは、次のようなスカラー積（汎関数）
です。 $f(x)$ が超関数、 $\phi(x)$ が試料関数と呼ばれるものです。
<tex>
\langle f,\phi \rangle = \int f(x) \phi(x) dx \tag{##}
</tex>
おおざっぱに言って、この $\phi$ は $x$ が十分大きいところで、
十分速く減衰しゼロになることを要求します。それを試料関数空間といいます。
そうすると、無限遠でゼロにならない超関数 $f$ でも、スカラー積が有限値で
定まります。 $ \phi $ が試料関数空間でいろいろ動いた
とき、常に $\langle f,\phi \rangle = \langle g,\phi \rangle $ を満たしてるならば、
超関数の意味で $f=g$ と同一視するのです。
超関数の微分
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そういっても、何が嬉しいのかわからないと思うので、簡単な例を示します。
階段関数 $\Theta(x)$ の微分を求めてみます。
これは、 $x<0$ では０、 $x>0$ では１をとる関数です。 $x=0$ の値は定義されていません。
まず、準備として、関数の微分を求めておきます。
<tex>
\langle \dfrac{d}{dx}f ,\phi \rangle &= \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{df}{dx}(x) \phi(x) dx \\
&= \left[ f(x) \phi(x) \right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \dfrac{d \phi}{dx}(x) dx \\
&= - \langle f ,\dfrac{d \phi}{dx} \rangle \tag{##}
</tex>
試料関数が無限遠で十分速く小さくなるので、境界項 $\left[ f(x) \phi(x) \right]_{-\infty}^{\infty}$ はゼロとなる事を、
用いました。微分が移ると、マイナスの符号がつくことにご注意ください。では、階段関数の微分に入ります。
<tex>
\langle \dfrac{d \Theta}{dx} ,\phi \rangle &= - \langle \Theta ,\dfrac{d \phi}{dx} \rangle \\
&= - \int_{-\infty}^{\infty} \Theta \dfrac{d \phi}{dx} dx \\
&= - \int_0^{\infty} \dfrac{d \phi}{dx} dx \\
&= - \left[ \phi \right]_0^\infty \\
&= - \left( \phi(\infty) - \phi(0) \right) \\
&= \phi(0) \\
&= \langle \delta(x) , \phi \rangle \tag{##}
</tex>
ここで、δ関数が出てきました。つまり、 $\dfrac{d \Theta}{dx}(x) = \delta(x)$ が超関数の意味で成立します。
超関数のフーリエ変換
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超関数の考え方では、フーリエ変換
<tex>
\hat{f}(k) &= \mathcal{F}[f(x)] = \int f(x) e^{-ikx} dx \tag{##} \\
f(x) &= \mathcal{F}^{-1}[\hat{f}(x)] = \dfrac{1}{2 \pi} \int \hat{f}(k) e^{ikx} dk \tag{##}
</tex>
を拡張することもできます。
例えば、 $f(x) = x$ のフーリエ変換はいくつとなるでしょう？
これは従来のフーリエ変換では、積分が発散してうまく求まりません。
ところが、超関数の意味では求めることができるのです。
超関数のフーリエ変換の定義は、次のようになります。
<tex>
\langle \mathcal{F}[f(x)] , \phi(k) \rangle
&= \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-ikx} dx \right) \phi(k) dk \\
&= \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty \phi(k) e^{-ikx} dk \right) f(x) dx \\
&= \langle f(x) , \mathcal{F}[\phi(k)] \rangle \tag{##}
</tex>
まず、 $f(x)=x$ のフーリエ変換の前にいくらかフーリエ変換の例を考えてみましょう。
<tex>
\langle \mathcal{F}^{-1}[\delta(k)] , \phi(x) \rangle
&= \dfrac{1}{2 \pi } \int \left( \int \delta(k) e^{ikx} dx \right) \phi(x) dk \\
&= \dfrac{1}{2 \pi } \int 1 \times \phi(x) dk \\
&= \langle \dfrac{1}{2 \pi } , \phi(k) \rangle \tag{##}
&= \dfrac{1}{2 \pi } \int \left( \int \delta(k) e^{ikx} dk \right) \phi(x) dx \\
&= \dfrac{1}{2 \pi } \int 1 \times \phi(x) dx \\
&= \langle \dfrac{1}{2 \pi } , \phi(x) \rangle \tag{##}
</tex>
よって、
<tex>
\mathcal{F}^{-1}[\delta(k)] = \dfrac{1}{2 \pi } \tag{##} \\
\mathcal{F}^{-1}[2 \pi \delta(k)] = 1 \tag{##}
</tex>
が言えました。
これと、公式
<tex>
\mathcal{F} \mathcal{F}^{-1} [f(k)] = f(k) \tag{##}
</tex>
を用いると、
<tex>
\mathcal{F}[1] = \mathcal{F} \mathcal{F}^{-1}[2 \pi \delta(k)] = \delta(k) \tag{##}
</tex>
が分かります。
では、いよいよ $f(x)=x$ のフーリエ変換です。後で具体的計算を書きますので、
俯瞰図としてご覧ください。
<tex>
\langle \mathcal{F}[x] , \phi(k) \rangle &= \langle x, \mathcal{F} \phi(k) \rangle \\
\langle \mathcal{F}[x] , \phi(k) \rangle &= \langle x, \mathcal{F} [ \phi(k) ] \rangle \\
&= -i \langle 1 , \mathcal{F} \left( \dfrac{d \phi}{dk} \right) \rangle \\
&= -i \langle \mathcal{F}[1] , \dfrac{d \phi}{dk} \rangle \\
&= -i \langle 2 \pi \delta(k) , \dfrac{d \phi}{dk} \rangle \\
&= 2 \pi i \langle \dfrac{d \delta(k)}{dk} , \phi(k) \rangle \tag{##}
</tex>
よって、
<tex>
\mathcal{F}[x] = 2 \pi i \dfrac{d \delta(k)}{dk} \tag{##}
</tex>
が分かりました。詳しい計算を書きますと、式 $(12)$ は、
<tex>
\int \left( \int x e^{-ikx} dx \right) \phi(k) dk &= \int x \left( \int \phi(k) e^{-ikx} dk \right) dx \\
&= \int x \left( [ \phi(k) \dfrac{e^{-ikx}}{-ix} ] + \int \dfrac{d \phi(k)}{dk} \dfrac{e^{-ikx}}{ix} dk \right) dx \\
&= \dfrac{1}{i}\int \left( \dfrac{d \phi(k)}{dk} e^{-ikx} dk \right) dx \\
&= -i \int \dfrac{d \phi}{dk} \left( \int e^{-ikx} dx \right) dk \\
&= -i \int \dfrac{d \phi}{dk} 2 \pi \delta(k) dk \\
&= -2 \pi i \int \dfrac{d \phi}{dk} \delta(k) dk \\
&= -2 \pi i \left( \left[ \phi \delta(k) \right] - \int \phi \dfrac{d \delta(k)}{dk} dk \right) \\
&= 2 \pi i \int \phi \dfrac{d \delta(k)}{dk} dk \tag{##}
</tex>
これで、証明完了です。同様に、
<tex>
\mathcal{F}[x^n] &= 2 \pi i^n \dfrac{d^n \delta(k)}{dk^n} \tag{##} \\
\mathcal{F}[\dfrac{d^n \delta(x)}{dx^n}] &= (ik)^{n} \tag{##}
</tex>
が成立します。それでは、今日はこの辺で。
お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2014-01-21@@
@@category:フーリエ解析@@
@@category:物理数学@@
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記事ソース/超関数入門 のバックアップ差分(No.6)
