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代数的数と超越数
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一つの前の記事 代数方程式の性質_ で代数方程式を定義しました。
<tex>
a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0
</tex>
特に、 *有理係数の代数方程式の解* を **代数的数** と呼びます。例えば $\sqrt{2}$ や $i$ は、 $x^{2}-2=0$ , $x^{2}+1=0$ といった有理係数代数方程式の解ですから代数的数です。 $\root 100\of 2$ もやはり $x^{100}-2=0$ という有理係数代数方程式の解ですから代数的数です。一方、 $\sqrt{\pi}$ は $x^{2}-\pi =0$ という代数方程式の解ではありますが、係数 $\pi$ が有理数ではありませんので、この例を見る限り $\sqrt{\pi}$ は代数的数ではありません。
しかし、他に $\pi$ を解とする、有理係数の代数方程式は一切存在しないと言えるのでしょうか？世の中には無限に代数方程式があるわけですから、どんな数だって、何らかの代数方程式の解になっているということないでしょうか？実は、世の中の仕組みはそうはなっていません。どうしても代数方程式の解にはならない数が無数に存在します。これらを *超越数* と呼びます。
超越数の有名な例には $\pi , e, 2^{\sqrt{2}}$ 等があります。ある数が代数的数であることを証明するのは簡単ですが、超越数であることを証明するのはとても難しいことです。 $\pi$ が超越数であることの証明は $1882$ 年、リンデマン( $\text{Ferdinand von Lindemann (1852-1939)}$ )によってなされましたが、とても難しいものだそうです。
.. figure:: Joh-Lindemann.gif
( $\pi$ が超越数であることを証明したリンデマン)
練習問題１
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一般に、 $a+ \root n\of {c} \ b \ (a,b,c \in Q)$ の形をした数は代数的であることを示して下さい。(ヒント：このような数を $x$ と置いて、移項したり累乗したりして代数方程式を作ってみましょう。)
練習問題２
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$\cos (k\pi)$ は $k$ が有理数であるときに代数的数であることを示して下さい。(ヒント：加法定理を使ってみましょう。)
.. _代数方程式の性質: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/AlgebraicEq/
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-06-xx@@
@@accept: 2006-06-24@@
@@category: 代数学@@
@@id: AlgebTranscndntl@@
記事ソース/代数方程式と超越数 のバックアップの現在との差分(No.1)
