記事ソース/相関関数のフーリエ変換 のバックアップ(No.6)
記事ソース/相関関数のフーリエ変換 のバックアップ(No.6)
これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）．
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相関関数のフーリエ変換
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今回は物理とは距離を置いて、物理を勉強する上で僕がつきあたった
数学的問題の一つを、厳密さに欠けますが、書こうと思います。
厳密には、積分の順序を交換する時、それぞれの積分が絶対収束することを
言わねばなりません。
相関関数
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実数の物理量 $\phi_1(t_0)$ と、 $\phi_2(t_0)$ の相互相関関数 $C_{12}(t)$ とは、
<tex>
C_{12}(t) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} \phi_1(t+t_0) \phi_2(t_0) dt_0
</tex>
と定義されます。
相関関数のフーリエ変換
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これをフーリエ変換するとどうなるか、と言うのが、今回の問題です。
やってみますと、
<tex>
\mathcal{F}(C_{12}(t)) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} \int_{-\infty}^{\infty} \phi_1(t+t_0) \phi_2(t_0) dt_0 dt \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} \int_{-\infty}^{\infty} \phi_1(t+t_0) \phi_2(t_0) dt_0 dt \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega (t+t_0)} \phi_1(t+t_0) dt \int_{-\infty}^{\infty} \phi_2(t_0)e^{i \omega t_0} dt_0 \\
&= \mathcal{F} \phi_1(\omega) \int_{-\infty}^{\infty} \phi_2(t_0) e^{i \omega t_0} dt_0 \\
&= \mathcal{F} \phi_1(\omega) \mathcal{F} \phi_2(- \omega)
</tex>
となります。ここで、 $\phi_1$ と $\phi_2$ を入れ替えれば、 $\mathcal{F}(C_{21}(t))= \mathcal{F} \phi_1(- \omega) \mathcal{F} \phi_2(\omega) = \mathcal{F}(C_{12}(-t)) $ が成立します。注意しておくこととして、相互相関関数は、自己相関関数（ $\phi_1(t)=\phi_2(t)$ の時）と違い、偶関数にはなりません。数学的に同じ様な操作として、フーリエ解析で有名なたたみこみ積分というものがあることを言及しておきます。
何かの参考になれば幸いです。
それでは、今日はこの辺で。
@@author:クロメル@@
@@accept:2011-06-07@@
@@category:フーリエ解析@@
@@id:fourierCorre@@
