#rst2hooktail_source ============================================================ 相関関数のフーリエ変換 ============================================================ 今回は物理とは距離を置いて、物理を勉強する上で僕がつきあたった 数学的問題の一つを、厳密さに欠けますが、書こうと思います。 厳密には、積分の順序を交換する時、それぞれの積分が絶対収束することを 言わねばなりません。 相関関数 ====================== 実数の物理量 $\phi_1(t_0)$ と、 $\phi_2(t_0)$ の相互相関関数 $C_{12}(t)$ とは、 <tex> C_{12}(t) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} \phi_1(t+t_0) \phi_2(t_0) dt_0 </tex> と定義されます。 相関関数のフーリエ変換 ========================= これをフーリエ変換するとどうなるか、と言うのが、今回の問題です。 やってみますと、 <tex> \mathcal{F}(C_{12}(t)) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} \int_{-\infty}^{\infty} \phi_1(t+t_0) \phi_2(t_0) dt_0 dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} \int_{-\infty}^{\infty} \phi_1(t+t_0) \phi_2(t_0) dt_0 dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega (t+t_0)} \phi_1(t+t_0) dt \int_{-\infty}^{\infty} \phi_2(t_0)e^{i \omega t_0} dt_0 \\ &= \mathcal{F} \phi_1(\omega) \int_{-\infty}^{\infty} \phi_2(t_0) e^{i \omega t_0} dt_0 \\ &= \mathcal{F} \phi_1(\omega) \mathcal{F} \phi_2(- \omega) </tex> となります。ここで、 $\phi_1$ と $\phi_2$ を入れ替えれば、 $\mathcal{F}(C_{21}(t))= \mathcal{F} \phi_1(- \omega) \mathcal{F} \phi_2(\omega) \mathcal{F}(C_{12}(-t)) $ が成立します。注意しておくこととして、相互相関関数は、自己相関関数( $\phi_1(t)=\phi_2(t)$ の時)と違い、偶関数にはなりません。 何かの参考になれば幸いです。 それでは、今日はこの辺で。 @@author:クロメル@@ @@accept:2011-06-07@@ @@category:フーリエ解析@@ @@id:fourierCorre@@