#rst2hooktail_source ============================================================ 状態数Ωと分配関数Zの関係 ============================================================ この記事ではミクロカノニカル集合で扱われる状態数Ωと、 カノニカル集合で扱われる分配関数の関係を求めます。 その方法は、エントロピーSを両方で求めて、 イコールと置くだけです。 ミクロカノニカル集合(ΩとS) =============================== これは有名なボルツマンの式です。 えいっ! <tex> S = k_B \log \Omega \tag{##} </tex> カノニカル集合(ZとS) =============================== これは少し考えないといけません。$\beta = \dfrac{1}{k_B T}$ 、 $ Z = \sum_i e^{- \beta E_i} $ として、 <tex> \langle E \rangle &= \dfrac{\sum_i E_i e^{- \beta E_i}}{\sum_i e^{- \beta E_i}} \\ &= - \dfrac{\partial}{\partial \beta} \log Z \tag{##} </tex> であり、 <tex> F = - \dfrac{1}{\beta} \log Z \tag{##} </tex> でした。よって、 <tex> S = \dfrac{\langle E \rangle - F}{T} \tag{##} </tex> を利用すればよく、 <tex> S &= k_B\dfrac{\langle E \rangle - F}{k_B T} \\ &= k_B \beta ( - \dfrac{\partial}{\partial \beta} + \dfrac{1}{\beta}) \log Z \\ &= k_B( 1 -\beta \dfrac{\partial}{\partial \beta}) \log Z \\ &= - k_B \beta^2 \dfrac{\partial}{\partial \beta} \left( \dfrac{1}{\beta} \log Z \right) \tag{##} </tex> となります。ここで、 <tex> \dfrac{\partial}{\partial \beta} &= \dfrac{\partial T}{\partial \beta} \dfrac{\partial}{\partial T} \\ &= -\dfrac{1}{k_B \beta^2} \dfrac{\partial}{\partial T} \tag{##} </tex> を利用すれば、 <tex> S &= k_B \beta^2 \dfrac{1}{k_B \beta^2} \dfrac{\partial}{\partial T} \left( \dfrac{1}{\beta} \log Z \right) \\ &= - \dfrac{\partial}{\partial T} \left( - \dfrac{1}{\beta} \log Z \right) \\ &= -\dfrac{\partial}{\partial T} F \tag{##} </tex> なんだ、これは $dF = -SdT- pdV$ から求まる結果と一致しますね。つまり、 <tex> S = - \left( \dfrac{\partial F}{\partial T} \right)_V \tag{##} </tex> です。 まとめ =========================== これで、両手法でエントロピー $S$ が求まりました。イコールで結びましょう!! <tex> S = k_B \log \Omega = \dfrac{\partial}{\partial T} \left( k_B T \log Z \right) \tag{##} </tex> これが、求めたかった $Z$ と $\Omega$ の関係です。 込み入った計算の結果の割には美しいと思います。 それでは、今回はこの辺で、お疲れ様でした。 @@author:クロメル@@ @@accept:2013-12-22@@ @@category:統計力学@@ @@id:distFuncAndStaNum@@