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============================================================ 弱い力の変換則(非可換ゲージ場SU(2)) ============================================================ この記事では弱い力の変換性 <tex> W^\prime_\mu = UW_\mu U^\dagger + \left( \dfrac{2i}{g_2} \right) \left( \partial_\mu U \right) U^\dagger \tag{##} </tex> の右辺第二項の計算を見ます。右辺第一項は大域的変換で"3次元アイソスピン空間"での回転を表します。第二項は局所的な変換対称性を表し、 $ Z = \left( \partial_\mu U \right) U^\dagger $ と置きます。参考文献として、コッティンガム、グリーンウッド共著、樺沢宇紀訳『素粒子標準模型入門』(丸善出版)から、基本設定を使わせて頂きます。 基本設定 ============== まず、群 $SU(2)$ の任意の要素は3つの実数 $\alpha_k$ とパウリ行列 $\sigma$ を用いて、 <tex> U = \exp (-i \alpha_k \sigma^k) \tag{##} </tex> と書けます。そして、パウリ行列は <tex> \sigma_1 &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ \sigma_2 &= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \\ \sigma_3 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> です。弱い力の非可換ゲージ場 <tex> W_\mu(x) &= W_\mu^k(x) \sigma^k \\ &= \begin{pmatrix} W_\mu^3 & W_\mu^1 - i W_\mu^2 \\ W_\mu^1 + i W_\mu^2 & - W_\mu^3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} W_\mu^3 & \sqrt{2} W_\mu^+ \\ \sqrt{2} W_\mu^- & - W_\mu^3 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> を表します。 量子場としての $W_\mu^+$ は $W^+$ ボゾンの消滅演算子( $W^-$ ボゾンの生成演算子)であり、 また、 $W_\mu^-$ は $W^-$ ボゾンの消滅演算子( $W^+$ ボゾンの生成演算子)です。 そして、 $W_\mu^3$ は $Z$ ボゾンと光子 $\gamma$ の混合粒子からなる中性粒子の生成消滅演算子(Zボゾンの反粒子はZボゾンであり、光子γの反粒子も光子γです。つまり、これらは共にマヨラナ粒子です。) また、下添え字 $\mu$ はベクトルポテンシャル $A_\mu$ と同じく座標変数 $t,x,y,z$ でラベルされます。 SU(2)の元 ================= さて、 $U$ の具体形を見てみましょう。リー群 $SU(2)$ の元と言うことで表現はいくつかあるようですが、 取りあえず今回はパウリ行列を選びました。 式 $(1)$ は、 <tex> U &= \exp (-i \alpha^k \sigma^k) \\ &= \exp \left( -i \begin{pmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 -i \alpha_2 \\ \alpha_1 +i \alpha_2 & -\alpha_3 \end{pmatrix} \right) \tag{##} </tex> ここで、 <tex> A = \begin{pmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 -i \alpha_2 \\ \alpha_1 +i \alpha_2 & -\alpha_3 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> と置くと、 $I$ を単位行列、 $\beta^2 = \alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2$ として、 <tex> A^2 = \beta^2 I \tag{##} </tex> が成立します。つまり、これで $\exp$ の計算が実行でき、 <tex> U &= \exp (-i \alpha^k \sigma^k) \\ &= \exp \left( -iA \right) \\ &= I -iA + \dfrac{(-iA)^2}{2!} + \dfrac{(-iA)^3}{3!} + \dfrac{(-iA)^4}{4!} + \cdots \\ &= I -iA - \dfrac{\beta^2 I}{2!} + i \dfrac{\beta^2 A}{3!} + \dfrac{\beta^4 I}{4!} + \cdots \\ &= \cos \beta I - \dfrac{i}{\beta}\sin \beta A \\ &= \begin{pmatrix} \cos \beta - i \dfrac{\sin \beta}{\beta}\alpha_3 & -i \dfrac{\sin \beta}{\beta}(\alpha_1 -i \alpha_2) \\ -i \dfrac{\sin \beta}{\beta}(\alpha_1 +i \alpha_2) & \cos \beta + i \dfrac{\sin \beta}{\beta} \alpha_3 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> となります。これは確かに <tex> \det U &= \cos^2 \beta + \left( \dfrac{\sin \beta}{\beta} \right)^2 \alpha_3^2 + \left( \dfrac{\sin \beta}{\beta} \right)^2 ( \alpha_1^2 + \alpha_2^2 ) \\ &= \cos^2 \beta + \sin^2 \beta \dfrac{\beta^2}{\beta^2} \\ &= 1 \tag{##} </tex> より、ユニタリー行列です。 Zの計算 =================== 式 $(8)$ を微分して、 $U^\dagger$ を掛ければ目的の $\left( \partial_\mu U \right) U^\dagger$ が得られる訳です。 ここで、 $\dfrac{\partial}{\partial x_\mu}X$ を $\dot{X}$ で表すことにします。 $\alpha_k(x)$ を $x_\mu$ で微分するので、各 $\mu$ に関して、構造は同じと分かりますから、そう略記できる訳です。 <tex> U &= \cos \beta I - \dfrac{i}{\beta}\sin \beta A \\ \partial_\mu U &= - \sin \beta \dot{\beta} I - i \dfrac{\cos \beta \dot{\beta}}{\beta} A + i \dfrac{\sin \beta \dot{\beta}}{\beta^2} A - i \dfrac{\sin \beta}{\beta} \dot{A} \\ U^\dagger &= \cos \beta I + \dfrac{i}{\beta}\sin \beta A \tag{##} </tex> より、 <tex> Z &= (\partial_\mu U) U^\dagger \\ &= \left( - \sin \beta \dot{\beta} I - i \dfrac{\cos \beta \dot{\beta}}{\beta} A + i \dfrac{\sin \beta \dot{\beta}}{\beta^2} A - i \dfrac{\sin \beta}{\beta} \dot{A} \right) \left( \cos \beta I + \dfrac{i}{\beta}\sin \beta A \right) \\ &= -\dot{\beta} \sin \beta \cos \beta I -i \dfrac{\cos^2 \beta \dot{\beta}}{\beta} A + i \dfrac{\sin \beta \cos \beta \dot{\beta}}{\beta^2}A - i \dfrac{\sin \beta \cos \beta}{\beta} \dot{A} \\ &-i \dfrac{\sin^2 \beta \dot{\beta}}{\beta} A + \dot{\beta} \sin \beta \cos \beta I - \dfrac{\sin^2 \beta \dot{\beta}}{\beta} I + \dfrac{\sin^2 \beta}{\beta^2}\dot{A} A \\ &= -i \dfrac{\dot{\beta}}{\beta} A + i \dfrac{\sin \beta \cos \beta}{\beta}(\dot{\beta}A- \beta \dot{A}) + \dfrac{\sin^2 \beta}{\beta^2}(-\beta \dot{\beta}I + \dot{A}A) \tag{##} </tex> ここで、 <tex> \dot{A} = \begin{pmatrix} \dot{\alpha_3} & \dot{\alpha_1} -i \dot{\alpha_2} \\ \dot{\alpha_1} +i \dot{\alpha_2} & -\dot{\alpha_3} \end{pmatrix} \tag{##} </tex> であり、 <tex> A^2 &= \beta^2 I \\ \dot{\beta} &= \dfrac{\alpha_1 \dot{\alpha_1} + \alpha_2 \dot{\alpha_2} + \alpha_3 \dot{\alpha_3}}{\sqrt{\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2}} \tag{##} </tex> であり、 <tex> A^2 &= \beta^2 I \\ \dot{A}A + A\dot{A} &= 2 \beta \dot{\beta} I \tag{##} </tex> より、更に計算を進めて、 <tex> Z &= -i \dfrac{\dot{\beta}}{\beta} A + i \dfrac{\sin \beta \cos \beta}{\beta}(\dot{\beta}A- \beta \dot{A}) + \dfrac{\sin^2 \beta}{\beta^2}(-\beta \dot{\beta}I + \dot{A}A) \\ &= -i \dfrac{\dot{\beta}}{\beta} A + i \dfrac{\sin \beta \cos \beta}{\beta}(\dot{\beta}A- \beta \dot{A}) + \dfrac{\sin^2 \beta}{\beta^2}(-\dfrac{\dot{A}A + A\dot{A}}{2} + \dot{A}A) \\ &= -i \dfrac{\dot{\beta}}{\beta} A + i \dfrac{\sin \beta \cos \beta}{\beta}(\dot{\beta} A- \beta \dot{A}) + \dfrac{\sin^2 \beta}{2 \beta^2}(\dot{A} A - A \dot{A}) \tag{##} </tex> となります。 ただし、 <tex> \alpha_i \dot{\alpha_j} - \alpha_i \dot{\alpha_j} =: K_{ij} \tag{##} </tex> として、 <tex> \dot{A} A - A \dot{A} &= -i \begin{pmatrix} K_{12} & K_{23} -i K_{31} \\ K_{23} +i K_{31} & K_{12} \end{pmatrix} \tag{##} </tex> となっています。 力技でここまで来ましたが、もっと エレガントな方法_ をご紹介頂いたので、リンクを張っておきます。 今日はこの辺で、お疲れさまでした。 .. _エレガントな方法:http://physnakajima.html.xdomain.jp/ @@reference: コッティンガム、グリーンウッド共著、樺沢宇紀訳,素粒子標準模型入門,丸善出版,2012,p1391-p163,462106195X@@ @@author:クロメル@@ @@accept:2020-01-15@@ @@category:量子力学@@ @@id:vectorGaugeFieldSU2@@