記事ソース/弱い力の変換則(非可換ゲージ場SU(2)) のバックアップ(No.1)
記事ソース/弱い力の変換則(非可換ゲージ場SU(2)) のバックアップ(No.1)
これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）．
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弱い力の変換則(非可換ゲージ場SU(2))
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この記事では弱い力の変換性
<tex>
W^\prime_\mu = UW_\mu U^\dagger + \left( \dfrac{2i}{g_2} \right) \left( \partial_\mu U \right) U^\dagger \tag{##}
</tex>
の右辺第二項の計算を見ます。右辺第一項は大域的変換で"3次元アイソスピン空間"での回転を表します。第二項は局所的な変換対称性を表し、 $ Z = \left( \partial_\mu U \right) U^\dagger $ と置きます。参考文献として、コッティンガム、グリーンウッド共著、樺沢宇紀訳『素粒子標準模型入門』(丸善出版)から、基本設定を使わせて頂きます。
基本設定
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まず、群 $SU(2)$ の任意の要素は３つの実数 $\alpha_k$ とパウリ行列 $\sigma$ を用いて、
<tex>
U = \exp (-i \alpha_k \sigma^k) \tag{##}
</tex>
と書けます。そして、パウリ行列は
<tex>
\sigma_1 &=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} \\
\sigma_2 &=
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix} \\
\sigma_3 &=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
です。弱い力の非可換ゲージ場
<tex>
W_\mu(x) &= W_\mu^k(x) \sigma^k \\
&=
\begin{pmatrix}
W_\mu^3 & W_\mu^1 - i W_\mu^2 \\
W_\mu^1 + i W_\mu^2 & - W_\mu^3
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
W_\mu^3 & \sqrt{2} W_\mu^+ \\
\sqrt{2} W_\mu^- & - W_\mu^3
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
を表します。
量子場としての $W_\mu^+$ は $W^+$ ボゾンの消滅演算子（ $W^-$ ボゾンの生成演算子）であり、
また、 $W_\mu^-$ は $W^-$ ボゾンの消滅演算子（ $W^+$ ボゾンの生成演算子）です。
そして、 $W_\mu^3$ は $Z$ ボゾンと光子 $\gamma$ の混合粒子からなる中性粒子の生成消滅演算子(Zボゾンの反粒子はZボゾンであり、光子γの反粒子も光子γです。つまり、これらは共にマヨラナ粒子です。)
また、下添え字 $\mu$ はベクトルポテンシャル $A_\mu$ と同じく座標変数 $t,x,y,z$ でラベルされます。
SU(2)の元
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さて、 $U$ の具体形を見てみましょう。リー群 $SU(2)$ の元と言うことで表現はいくつかあるようですが、
取りあえず今回はパウリ行列を選びました。
式 $(1)$ は、
<tex>
U &= \exp (-i \alpha^k \sigma^k) \\
&= \exp \left( -i
\begin{pmatrix}
\alpha_3 & \alpha_1 -i \alpha_2 \\
\alpha_1 +i \alpha_2 & -\alpha_3
\end{pmatrix} \right)
\tag{##}
</tex>
ここで、
<tex>
A =
\begin{pmatrix}
\alpha_3 & \alpha_1 -i \alpha_2 \\
\alpha_1 +i \alpha_2 & -\alpha_3
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
と置くと、 $I$ を単位行列、 $\beta^2 = \alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2$ として、
<tex>
A^2 = \beta^2 I
\tag{##}
</tex>
が成立します。つまり、これで $\exp$ の計算が実行でき、
<tex>
U &= \exp (-i \alpha^k \sigma^k) \\
&= \exp \left( -iA \right) \\
&= I -iA + \dfrac{(-iA)^2}{2!} + \dfrac{(-iA)^3}{3!} + \dfrac{(-iA)^4}{4!} + \cdots \\
&= I -iA - \dfrac{\beta^2 I}{2!} + i \dfrac{\beta^2 A}{3!} + \dfrac{\beta^4 I}{4!} + \cdots \\
&= \cos \beta I - \dfrac{i}{\beta}\sin \beta A
&= \begin{pmatrix}
\cos \beta - i \dfrac{\sin \beta}{\beta}\alpha_3 & -i \dfrac{\sin \beta}{\beta}(\alpha_1 -i \alpha_2) \\
-i \dfrac{\sin \beta}{\beta}(\alpha_1 +i \alpha_2) & \cos \beta + i \dfrac{\sin \beta}{\beta} \alpha_3
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。これは確かに
<tex>
\det U &= \cos^2 \beta + \left( \dfrac{\sin \beta}{\beta} \right)^2 \alpha_3^2 + \left( \dfrac{\sin \beta}{\beta} \right)^2 ( \alpha_1^2 + \alpha_2^2 ) \\
&= \cos^2 \beta + \sin^2 \beta \dfrac{\beta^2}{\beta^2} \\
&= 1
\tag{##}
</tex>
より、ユニタリー行列です。
第一の試行
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今回は、二通りの方法で $Z$ を求めます。最初のものはシンプルですがあまり感動がありません。
とにかく、見てみましょう！
式 $(8)$ を微分して、 $U^\dagger$ を掛ければ目的の $\left( \partial_\mu U \right) U^\dagger$ が得られる訳です。
ここで、 $\dfrac{\partial}{\partial x_\mu}X$ を $\dot{X}$ で表すことにします。 $\alpha_k(x)$ を $x_\mu$ で微分するので、各 $\mu$ に関して、構造は同じと分かりますから、そう略記できる訳です。
<tex>
U &= \cos \beta I - \dfrac{i}{\beta}\sin \beta A \\
\partial_\mu U &= - \sin \beta \dot{\beta} I - i \dfrac{\cos \beta \dot{\beta}}{\beta} A + i \dfrac{\sin \beta \dot{\beta}}{\beta^2} A - i \dfrac{\sin \beta}{\beta} \dot{A} \tag{##}
</tex>
@@reference: コッティンガム、グリーンウッド共著、樺沢宇紀訳,素粒子標準模型入門,丸善出版,2012,p1391-p163,462106195X@@
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-01-15@@
@@category:量子力学@@
@@id:vectorGaugeFieldSU2@@
