#rst2hooktail_source ============================================================ 斜交座標での2次元フーリエ変換 ============================================================ 二次元フーリエ変換ってありますよね。僕が今まで見たことあるものは、 全て2つの変数が直交したものでした。そこで、今回2つの変数が斜交座標を なしている時のフーリエ変換を考えます。 この記事の結論から書くと、 <tex> \mathcal{F}(f) &= \hat{f}(\omega_1 , \omega_2) \\ &= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \exp \left( -i(ax+by)\omega_1 \right) \exp \left( -i(cx+dy)\omega_2 \right) \tag{##} </tex> とすると、 <tex> \mathcal{F}^{-1}(\hat{f}) &= \dfrac{1}{(2 \pi)^2}\int_{-\infty}^\infty d \omega_2 \int_{-\infty}^\infty d \omega_1 \hat{f}(\omega_1 , \omega_2) \exp \left( i(ax^\prime +by^\prime )\omega_1 \right) \exp \left(i(cx^\prime +dy^\prime )\omega_2 \right) \\ &= \dfrac{1}{ad-bc} f(x^\prime,y^\prime) \tag{##} </tex> が成立します。 証明 =================== <tex> \mathcal{F}^{-1} \left( \mathcal{F}(f) \right) </tex> <tex> = \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 \int_{-\infty}^\infty d \omega_1 \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \exp \left( -i(ax+by)\omega_1 \right) \exp \left( -i(cx+dy)\omega_2 \right) \exp \left( i(ax^\prime +by^\prime )\omega_1 \right) \exp \left(i(cx^\prime +dy^\prime )\omega_2 \right) </tex> <tex> = \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 \int_{-\infty}^\infty d \omega_1 \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \exp \left( i \left( (ax^\prime +by^\prime ) - (ax+by) \right) \omega_1 \right) \exp \left( -i \left( (cx^\prime +d^\prime ) - (cx+dy) \right) \omega_2 \right) </tex> <tex> = \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \int_{-\infty}^\infty d \omega_1 \exp \left( i \left( (ax^\prime +by^\prime ) - (ax+by) \right) \omega_1 \right) \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 \exp \left( i \left( (cx^\prime +d^\prime ) - (cx+dy) \right) \omega_2 \right) </tex> <tex> = \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) 2 \pi \delta((ax^\prime +by^\prime ) - (ax+by))2 \pi \delta((cx^\prime +dy^\prime ) - (cx+dy)) </tex> <tex> = \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \delta((ax+by)-(ax^\prime +by^\prime )) \delta((cx+dy)-(cx^\prime +dy^\prime )) \tag{##} </tex> ここで、 <tex> \int_{-\infty}^\infty d \omega \exp \left( i a (x^\prime - x) \omega \right) &= 2 \pi \delta \left( a (x^\prime - x) \right) \tag{##} \\ \delta(x) &= \delta(-x) \tag{##} </tex> を用いました。さて、ここで <tex> \begin{cases} s &= ax + by \\ t &= cx + dy \end{cases} \tag{##} </tex> と置きます。すると、 <tex> dsdt &= \begin{vmatrix} \dfrac{\partial s}{\partial x} & \dfrac{\partial s}{\partial y} \\ \dfrac{\partial t}{\partial x} & \dfrac{\partial t}{\partial y} \end{vmatrix} dxdy \\ &= (ad-bc)dxdy </tex> です。つまり、 <tex> dxdy &= \dfrac{1}{ad-bc} dsdt \tag{##} </tex> を使って、 <tex> &\int_{- \infty}^\infty dx \int_{- \infty}^\infty dy \delta((ax+by)-(ax^\prime +by^\prime )) \delta((cx+dy)-(cx^\prime +dy^\prime )) \\ &= \int_{- \infty}^\infty \int_{- \infty}^\infty \delta (s-s^\prime ) \delta (t-t^\prime ) dx dy \\ &= \dfrac{1}{ad-bc} \iint \delta (s-s^\prime ) \delta (t-t^\prime ) ds dt \\ &= \dfrac{1}{ad-bc} \tag{##} </tex> ですから、 <tex> \delta((ax+by)-(ax^\prime +by^\prime )) \delta((cx+dy)-(cx^\prime +dy^\prime )) = \dfrac{1}{ad-bc} \delta(x-x^\prime) \delta(y-y^\prime) \tag{##} </tex> となります。よって、 <tex> \mathcal{F}^{-1} \left( \mathcal{F}(f) \right) &= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \delta((ax+by)-(ax^\prime +by^\prime )) \delta((cx+dy)-(cx^\prime +dy^\prime )) \\ &= \dfrac{1}{ad-bc} \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \delta(x-x^\prime) \delta(y-y^\prime) \\ &= \dfrac{1}{ad-bc} f(x^\prime,y^\prime) \tag{##} </tex> が言えました。この積分の微小要素 $dxdy$ は符号付きで ありまして、 $(a,b)$ を $(c,d)$ に原点を中心に回転して 方向を重ねる時、 反時計回りに回った方が早い場合、 $ad-bc>0$ であり、 時計回りに回った方が早い場合、 $ad-bc<0$ です。 今日はこの辺で、お疲れ様でした。 @@author:クロメル@@ @@accept:2018-02-11@@ @@category:フーリエ解析@@ @@id:2DimFourierInObliqueCoordinate@@