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#rst2hooktail_source
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斜交座標での２次元フーリエ変換
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二次元フーリエ変換ってありますよね。僕が今まで見たことあるものは、
全て２つの変数が直交したものでした。そこで、今回２つの変数が斜交座標を
なしている時のフーリエ変換を考えます。
この記事の結論から書くと、
<tex>
\mathcal{F}(f)
&= \hat{f}(\omega_1 , \omega_2) \\
&= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \exp \left( -i(ax+by)\omega_1 \right) \exp \left( -i(cx+dy)\omega_2 \right) \tag{##}
</tex>
とすると、
<tex>
\mathcal{F}^{-1}(\hat{f})
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2}\int_{-\infty}^\infty d \omega_2 \int_{-\infty}^\infty d \omega_1 \hat{f}(\omega_1 , \omega_2) \exp \left( i(ax^\prime +by^\prime )\omega_1 \right) \exp \left(i(cx^\prime +dy^\prime )\omega_2 \right) \\
&= \dfrac{1}{ad-bc} f(x^\prime,y^\prime) \tag{##}
</tex>
が成立します。
証明
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<tex>
\mathcal{F}^{-1} \left( \mathcal{F}(f) \right)
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 \int_{-\infty}^\infty d \omega_1 \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \exp \left( -i(ax+by)\omega_1 \right) \exp \left( -i(cx+dy)\omega_2 \right) \exp \left( i(ax^\prime +by^\prime )\omega_1 \right) \exp \left(i(cx^\prime +dy^\prime )\omega_2 \right) \\
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 \int_{-\infty}^\infty d \omega_1 \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \exp \left( i \left( (ax^\prime +by^\prime ) - (ax+by) \right) \omega_1 \right) \exp \left( -i \left( (cx^\prime +d^\prime ) - (cx+dy) \right) \omega_2 \right) \right) \\
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \int_{-\infty}^\infty d \omega_1 \exp \left( i \left( (ax^\prime +by^\prime ) - (ax+by) \right) \omega_1 \right) \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 \exp \left( i \left( (cx^\prime +d^\prime ) - (cx+dy) \right) \omega_2 \right) \right) \\
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) 2 \pi \delta((ax^\prime +by^\prime ) - (ax+by))2 \pi \delta((cx^\prime +dy^\prime ) - (cx+dy)) \\
&= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \delta((ax+by)-(ax^\prime +by^\prime )) \delta((cx+dy)-(cx^\prime +dy^\prime )) \tag{##}
</tex>
ここで、
<tex>
\int_{-\infty}^\infty d \omega \exp \left( i a (x^\prime - x) \omega \right) &= 2 \pi \delta \left( a (x^\prime - x) \right) \tag{##} \\
\delta(x) &= \delta(-x) \tag{##}
</tex>
を用いました。さて、ここで
<tex>
\begin{cases}
s &= ax + by \\
t &= cx + dy
\end{cases} \tag{##}
</tex>
と置きます。すると、
<tex>
dsdt &=
\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial s}{\partial x} & \dfrac{\partial s}{\partial y} \\
\dfrac{\partial t}{\partial x} & \dfrac{\partial t}{\partial y}
\end{vmatrix} dxdy \\
&= (ad-bc)dxdy
</tex>
です。つまり、
<tex>
dxdy &= \dfrac{1}{ad-bc} dsdt \tag{##}
</tex>
を使って、
<tex>
&\int_{- \infty}^\infty dx \int_{- \infty}^\infty dy \delta((ax+by)-(ax^\prime +by^\prime )) \delta((cx+dy)-(cx^\prime +dy^\prime )) \\
&= \int_{- \infty}^\infty \int_{- \infty}^\infty \delta (s-s^\prime ) \delta (t-t^\prime ) dx dy \\
&= \dfrac{1}{ad-bc} \iint \delta (s-s^\prime ) \delta (t-t^\prime ) ds dt \\
&= \dfrac{1}{ad-bc} \tag{##}
</tex>
ですから、
<tex>
\delta((ax+by)-(ax^\prime +by^\prime )) \delta((cx+dy)-(cx^\prime +dy^\prime )) = \dfrac{1}{ad-bc} \delta(x-x^\prime) \delta(y-y^\prime) \tag{##}
</tex>
となります。よって、
<tex>
\mathcal{F}^{-1} \left( \mathcal{F}(f) \right)
&= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \delta((ax+by)-(ax^\prime +by^\prime )) \delta((cx+dy)-(cx^\prime +dy^\prime )) \\
&= \dfrac{1}{ad-bc} \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \delta(x-x^\prime) \delta(y-y^\prime) \\
&= \dfrac{1}{ad-bc} f(x^\prime,y^\prime) \tag{##}
</tex>
が言えました。この積分の微小要素 $dxdy$ は符号付きで
ありまして、 $(a,b)$ を $(c,d)$ に原点を中心に回転して
方向を重ねる時、
反時計回りに回った方が早い場合、 $ad-bc>0$ であり、
時計回りに回った方が早い場合、 $ad-bc<0$ です。
今日はこの辺で、お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2018-02-11@@
@@category:フーリエ解析@@
@@id:2DimFourierInObliqueCoordinate@@
記事ソース/斜交座標での２次元フーリエ変換 のバックアップ差分(No.1)
