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交換相互作用と任意の方向を向いた二電子スピン
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交換相互作用は、 $\bm{S}_a \cdot \bm{S}_b$ を
用いて、 $- \dfrac{J_{ab}}{2}(\hbar^2 + 4 \bm{S}_a \cdot \bm{S}_b ) $ と表せられます。
この記事では、$\bm{S}_a \cdot \bm{S}_b \neq \dfrac{\hbar^2}{4},-\dfrac{3 \hbar^2}{4}$ の時は、
どうなるんだろう？という問いに答えます。
一電子の固有スピノール
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我々は、 任意の方向を向いたスピンのｘｙｚ方向固有状態での展開_ において、
一電子スピンの任意の方向を向いた状態の記述方法を学びました。
それを復習しておきましょう。極座標での $(\theta , \phi)$ 方向を向いたスピンは、 その任意方向単位ベクトル
<tex>
\bm{n}=\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi \\ \sin \theta \sin \phi \\ \cos \theta \end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
として、また、パウリのスピン行列
<tex>
\sigma_x = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
, \ \ \ \sigma_y = \begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}
, \ \ \ \sigma_z = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} \tag{##} \\
\bm{\sigma} = (\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)
\tag{##}
</tex>
として、そして、スピノール
<tex>
\chi = \begin{pmatrix}
c_+ \\
c_-
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
として、次の固有値方程式を満たすものでした。
<tex>
(\bm{n} \cdot \bm{\sigma}) \chi &= \left( \sum_{i=1}^3 n_i \sigma_i \right) \chi \\
&= \begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta e^{-i \phi} \\
\sin \theta e^{i \phi} & - \cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_+ \\
c_-
\end{pmatrix} \\
&= \lambda \begin{pmatrix}
c_+ \\
c_-
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
この固有値方程式は解が二つあり、それぞれ、正の方向と負の方向の解 $\chi_+,\chi_-$ が出てきます。
これらは固有値 $\lambda=\pm1$ を持ち、固有ベクトル（固有スピノール）を書くと、
<tex>
\chi_+ &= \begin{pmatrix} \cos \dfrac{\theta}{2} \\ \sin \dfrac{\theta}{2} e^{i \phi} \end{pmatrix} \tag{##} \\
\chi_- &= \begin{pmatrix} -\sin \dfrac{\theta}{2} \\ \cos \dfrac{\theta}{2} e^{i \phi} \end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
となります。
二電子の交換相互作用
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ここで、二電子のスピンと軌道の状態を記述する波動関数を確認しておきます。
スピン三重項を $t$ で表し、一重項を $s$ で表すと、
<tex>
\Psi_{t+} &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}(\phi_a(\bm{r}_1)\phi_b(\bm{r}_2)-\phi_b(\bm{r}_1)\phi_a(\bm{r}_2))\alpha(\sigma_1)\alpha(\sigma_2) \tag{##} \\
\Psi_{t0} &= \dfrac{1}{2}(\phi_a(\bm{r}_1)\phi_b(\bm{r}_2)-\phi_b(\bm{r}_1)\phi_a(\bm{r}_2))(\alpha(\sigma_1)\beta(\sigma_2)+\beta(\sigma_1)\alpha(\sigma_2)) \tag{##} \\
\Psi_{t-} &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}(\phi_a(\bm{r}_1)\phi_b(\bm{r}_2)-\phi_b(\bm{r}_1)\phi_a(\bm{r}_2))\beta(\sigma_1)\beta(\sigma_2) \tag{##} \\
\Psi_{s} &= \dfrac{1}{2}(\phi_a(\bm{r}_1)\phi_b(\bm{r}_2)-\phi_b(\bm{r}_1)\phi_a(\bm{r}_2))(\alpha(\sigma_1)\beta(\sigma_2)+\beta(\sigma_1)\alpha(\sigma_2)) \tag{##}
</tex>
となります。
.. _任意の方向を向いたスピンのｘｙｚ方向固有状態での展開: http://hooktail.sub.jp/quantum/spinOfArbitraryDirection/
@@author:クロメル@@
@@accept:2014-03-24@@
@@category:量子力学@@
@@id:arbSpinExchange@@
記事ソース/交換相互作用と任意の方向を向いた二電子スピン のバックアップソース(No.3)
