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荷電粒子の運動による電磁場
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`前の記事`_ では電荷 $q$ をもった荷電粒子が、ある軌道 $\bm{r} = \bm{r_0}(t)$ に沿って運動するとき、点 $\bm{r}$ の電磁場のポテンシャルは |Lienard-Wiechert| ポテンシャルで書かれることを学びました。
`前の記事`_ では電荷 $q$ をもった荷電粒子が、ある軌道 $\bm{r} = \bm{r_0}(t)$ に沿って運動するとき、
点 $\bm{r}$ の電磁場のポテンシャルは |Lienard-Wiechert| ポテンシャルで表されることを学びました。
|Lienard-Wiechert| ポテンシャルは次のように書かれるのでした。
<tex>
\phi & = \left[ \frac{q}{\kappa R} \right] \tag{#def(LW01)}, \\
\bm{A} & = \left[ \frac{q \bm{u}}{c \kappa R} \right]. \tag{#def(LW02)}
</tex>
ここで $[ \ ]$ は遅延時間をとることを表しています。
この記事では |Lienard-Wiechert| ポテンシャルから、荷電粒子が運動しているときの電場、磁場を求めます。
.. |Lienard-Wiechert| unicode:: Li U+00E9 nard-Wiechert
.. _`前の記事`: http://www12.plala.or.jp/ksp/elemag/Lienard-Wiechert/index.html
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ポテンシャルから電場を求める
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ポテンシャルから電場を求めることにしましょう。
まずポテンシャルから電場を求めることにしましょう。
いま我々はゲージとしてローレンツゲージを選んでいます。
したがって電場、磁場はスカラーポテンシャル $\phi$ 、ベクトルポテンシャル $\bm{A}$ を用いて次のように表されます。
<tex>
\bm{E}(\bm{r},t) & = -\nabla \phi - \frac{1}{c}\frac{\partial \bm{A}}{\partial t} \tag{#def(def-E)}\\
\bm{B}(\bm{r},t) & = \nabla \times \bm{A} \tag{#def(def-B)}
</tex>
(#ref(def-E))、(#ref(def-B)) にそれぞれ (#ref(LW01))、((#ref(LW02)) を代入して計算してやれば、電場・磁場を求めることができます。
まずは電場を求めることにしましょう。(#ref(def-E)) に (#ref(LW01)) を代入します。遅延時間を $t_{\rm{ret}} = t - \frac{|\bm{r}-\bm{r_0}(t')|}{c} = t'$ と表記することにします。電場は
<tex>
\bm{E}(\bm{r},t)
& =
- \nabla \phi - \frac{1}{c} \frac{\partial \bm{A}}{\partial t}\\
& =
- \nabla \left( \frac{q}{\kappa\left(t'\right) R\left(t'\right)} \right)
- \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{q \bm{u}(t')}{\kappa(t') R(t')} \right) \tag{#def(eq-E01)}
</tex>
となります。ここで $\bm{u}(t')$ 、 $\kappa(t')$ 、 $\bm{R}(t')$ 、 $ R(t')$ は
<tex>
\bm{u}(t') & = \frac{d \bm{r_0}(t')}{dt} \tag{#def(def-u)}\\
\kappa(t') & = 1 - \frac{1}{c} \bm{n}(t') \cdot \bm{u}(t') \tag{#def(def-kappa)}\\
\bm{R}(t') & = \bm{r} - \bm{r_0}(t') \tag{#def(def-vecR)}\\
R(t') & = |\bm{R}(t')| \tag{#def(def-R)}
</tex>
です。また、荷電粒子から観測者の向きの単位ベクトル $\bm{n}$ を次のように定義します。
<tex>
\bm{n}(t') = \frac{\bm{R}(t')}{R(t')} \tag{#def(def-n)}
</tex>
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
準備
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具体的な計算を進める前に、いくつかの量について計算しておきます。
あとで使うからです。
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$\partial t'/\partial t$
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まず $\frac{\partial t'}{\partial t}$ を計算します。
<tex>
\frac{\partial t'}{\partial t}
& =
\frac{\partial}{\partial t} \left( t - \frac{R(t')}{c} \right)\\
& =
1 - \frac{1}{c}\frac{\partial R(t')}{\partial t'} \frac{\partial t'}{\partial t} \tag{#def(tmp01)}
</tex>
ここで
<tex>
\frac{\partial R(t')}{\partial t'}
& =
\frac{\partial}{\partial t}
\left(
\sqrt{\left(x-x_0\left(t'\right)\right)^2 + \left(y-y_0\left(t'\right)\right)^2 + \left(z-z_0\left(t'\right)\right)^2}
\right)\\
& =
\frac{-\left(x-x_0\left(t'\right)\right)\frac{d x_0(t')}{dt'} - \left(y-y_0\left(t'\right)\right)\frac{d y_0(t')}{dt'} - \left(z-z_0\left(t'\right)\right)\frac{d z_0(t')}{dt'}}{\sqrt{\left(x-x_0\left(t'\right)\right)^2 + \left(y-y_0\left(t'\right)\right)^2 + \left(z-z_0\left(t'\right)\right)^2}}\\
\frac{-\left(x-x_0\left(t'\right)\right)\frac{d x_0(t')}{dt'}
- \left(y-y_0\left(t'\right)\right)\frac{d y_0(t')}{dt'}
- \left(z-z_0\left(t'\right)\right)
\frac{d z_0(t')}{dt'}}{\sqrt{\left(x-x_0\left(t'\right)\right)^2
+ \left(y-y_0\left(t'\right)\right)^2
+ \left(z-z_0\left(t'\right)\right)^2}}\\
& =
- \frac{\bm{R}(t')\cdot\bm{u}(t')}{R(t')}\\
& =
- \bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') \tag{#def(tmp02)}
</tex>
となるので、(#ref(tmp02)) を (#ref(tmp01)) に代入して
<tex>
\frac{\partial t'}{\partial t}
= 1 + \frac{\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')}{c}\frac{\partial t'}{\partial t}\\
\left(1-\frac{\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')}{c}\right) \frac{\partial t'}{\partial t}
= 1
</tex>
ゆえに (#ref(def-kappa)) より
<tex>
\frac{\partial t'}{\partial t} = \frac{1}{\kappa(t')}. \tag{#def(dt'/dt)}
</tex>
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
$\partial t' / \partial x$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
つぎに $\frac{\partial t'}{\partial x}$ という量を計算します。
ここで一つ気をつけなければいけないのが $t' = t - \frac{|\bm{r}-\bm{r_0}(t')|}{c}$ なので、 $r_0(t')$ の中の $t'$ も $x$ に依存していると言うことです。ややこしいですね (ﾉ◇≦。)
とにかくこれに気をつけて微分を実行する必要があります。
<tex>
\frac{\partial t'}{\partial x}
& =
\left( \frac{\partial t'}{\partial x} \right)_{\bm{r_0}}
+ \left(
\frac{\partial t'(\bm{r_0}(t'))}{\partial x}
\right)_{\bm{r}}\\
& =
\left( \frac{\partial t'}{\partial x} \right)_{\bm{r_0}}
+ \left(
\frac{\partial t'\left(\bm{r_0}\left(t'\right)\right)}{\partial t'}
\frac{\partial t'}{\partial x}
\right)_{\bm{r}} \tag{#def(tmp03)}
</tex>
ここで
<tex>
\left( \frac{\partial t'}{\partial x} \right)_{\bm{r_0}}
& =
\left(
\frac{\partial}{\partial x}
\left(
t - \frac{|\bm{r}-\bm{r_0}(t')|}{c}
\right)
\right)_{\bm{r_0}}\\
& =
\left(
-\frac{1}{c}
\frac{\partial}{\partial x}
\left(
\sqrt{(x-x_0(t'))^2 + (y-y_0(t'))^2 + (z-z_0(t'))^2}
\right)
\right)_{\bm{r_0}}\\
& =
- \frac{x-x_0(t')}{c R(t')}\\
& =
- \frac{n_x(t')}{c} \tag{#def(tmp04)}
</tex>
<tex>
\left(
\frac{\partial t'(\bm{r_0}(t'))}{\partial t'}
\frac{\partial t'}{\partial x}
\right)_{\bm{r}}
& =
\left(
\frac{\partial}{\partial t'}
\left(
t - \frac{R(t')}{c}
\right)
\frac{\partial t'}{\partial x}
\right)_{\bm{r}}\\
& =
\left(
-\frac{1}{c}
\frac{\partial R(t')}{\partial t'}
\frac{\partial t'}{\partial x}
\right)_{\bm{r}}\\
& =
\frac{\bm{n}(t') \cdot \bm{u}(t')}{c}
\frac{\partial t'}{\partial x} \tag{#def(tmp05)}
</tex>
したがって (#ref(tmp04))、(#ref(tmp05)) より、(#ref(tmp03)) は
<tex>
\left( 1 - \frac{\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')}{c} \right) \frac{\partial t'}{\partial x}
= - \frac{n_x(t')}{c}
</tex>
<tex>
\frac{\partial t'}{\partial x} = - \frac{n_x(t')}{c \kappa(t')}. \tag{#def(dt'/dx)}
</tex>
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
$\left(\partial/\partial t'\right) \left( \left(\kappa\left(t'\right)R\left(t'\right)\right)\right)$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
つぎに $\frac{\partial}{\partial t'} \left( \kappa \left(t'\right) R\left(t'\right)\right)$ を計算します。
これが終われば準備は完了ですので頑張って下さい。p(´∇｀)q
<tex>
\frac{\partial}{\partial} \left( \kappa \left(t'\right) R\left(t'\right)\right)
=
\frac{\partial \kappa (t')}{\partial t'} R(t')
+ \kappa (t') \frac{\partial R(t')}{\partial t'} \tag{#def(tmp06)}
</tex>
ここで
<tex>
\frac{\partial \kappa(t')}{\partial t'}
& =
\frac{\partial}{\partial t'} \left( 1 - \frac{\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')}{c} \right)\\
& =
-\frac{1}{c}
\left(
\frac{\partial \bm{n}(t')}{\partial t'} \cdot \bm{u}(t')
+ \bm{n}(t') \cdot \frac{\partial \bm{u}(t')}{\partial t'}
\right) \tag{#def(tmp07)}
</tex>
@@author: CO@@
@@accept: 執筆中@@
@@category: 電磁気学@@
@@id: elemagfield@@
記事ソース/荷電粒子の運動による電磁場 のバックアップ差分(No.32)
