#rst2hooktail_source ============================================================ 荷電粒子の運動による電磁場 ============================================================ `前の記事`_ では電荷 $q$ をもった荷電粒子が、ある軌道 $\bm{r} = \bm{r_0}(t)$ に沿って運動するとき、点 $\bm{r}$ の電磁場のポテンシャルは |Lienard-Wiechert| ポテンシャルで書かれることを学びました。 |Lienard-Wiechert| ポテンシャルは次のように書かれるのでした。 <tex> \phi & = \left[ \frac{q}{\kappa R} \right] \tag{#def(LW01)}, \\ \bm{A} & = \left[ \frac{q \bm{u}}{c \kappa R} \right]. \tag{#def(LW02)} </tex> ここで $[ \ ]$ は遅延時間をとることを表しています。 .. |Lienard-Wiechert| unicode:: Li U+00E9 nard-Wiechert .. _`前の記事`: http://www12.plala.or.jp/ksp/elemag/Lienard-Wiechert/index.html ------------------------------------------- ポテンシャルから電場を求める ------------------------------------------- ポテンシャルから電場を求めることにしましょう。 いま我々はゲージとしてローレンツゲージを選んでいます。 したがって電場、磁場はスカラーポテンシャル $\phi$ 、ベクトルポテンシャル $\bm{A}$ を用いて次のように表されます。 <tex> \bm{E}(\bm{r},t) & = -\nabla \phi - \frac{1}{c}\frac{\partial \bm{A}}{\partial t} \tag{#def(def-E)}\\ \bm{B}(\bm{r},t) & = \nabla \times \bm{A} \tag{#def(def-B)} </tex> (#ref(def-E))、(#ref(def-B)) にそれぞれ (#ref(LW01))、((#ref(LW02)) を代入して計算してやれば、電場・磁場を求めることができます。 まずは電場を求めることにしましょう。(#ref(def-E)) に (#ref(LW01)) を代入します。遅延時間を $t_{\rm{ret}} = t - \frac{\bm{r}-\bm{r_0}(t')}{c} = t'$ と表記することにします。電場は <tex> \bm{E}(\bm{r},t) & = - \nabla \phi - \frac{1}{c} \frac{\partial \bm{A}}{\partial t}\\ & = - \nabla \left( \frac{q}{\kappa\left(t'\right) R\left(t'\right)} \right) - \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{q \bm{u}(t')}{\kappa(t') R(t')} \right) \tag{#def(eq-E01)} </tex> となります。ここで $\bm{u}(t')$ 、 $\kappa(t')$ 、 $\bm{R}(t')$ 、 $ R(t')$ は <tex> \bm{u}(t') & = \frac{d \bm{r_0}(t')}{dt} \tag{#def(def-u)}\\ \kappa(t') & = 1 - \frac{1}{c} \bm{n}(t') \cdot \bm{u}(t') \tag{#def(def-kappa)}\\ \bm{R}(t') & = \bm{r} - \bm{r_0}(t') \tag{#def(def-vecR)}\\ R(t') & = |\bm{R}(t')| \tag{#def(def-R)} </tex> です。 @@author: CO@@ @@accept: 執筆中@@ @@category: 電磁気学@@ @@id: elemagfield@@