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ルジャンドル陪関数の直交関係（拙著、ものにする量子力学の補遺）
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挨拶
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どうも、クロメルです。拙著、「ものにする量子力学」（おかげさまでぼちぼち売れています。
御愛玩ありがとうございます。）では、水素原子の波動関数を
ルジャンドル関数、ラゲール多項式、ラゲール陪多項式について、
関数同士が直交していることを利用して、関数を求めていきました。
残念ながら、ルジャンドル陪関数の直交関係は執筆期間内に求められませんでした。
しかし、最近それについて考え直していたら、偶然、直交関係を見出すことができたので、
補遺として、ここに書いていこうと思います。
ルジャンドル陪関数とは
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まず、ルジャンドル陪関数 $P_l^m(x)$ は、ある整数 $l$ と $m$ ただし、$l \geq |m| $ について、
独立変数 $x (-1 \leq x \leq 1) $ の範囲で定義されます。これは、三次元球面の振動を表す
球面調和関数 $Y_l^m(\theta , \phi)$ に関係の深い関数です。
その $P_l^m(x)$ が満たす微分方程式は、
<tex>
\dfrac{d}{dx} \left[ (1-x^2) \dfrac{d P_l^m}{dx} \right] +\left( l(l+1)-\dfrac{m^2}{1-x^2} \right) P_l^m = 0 \tag{##}
</tex>
となります。
さて、前置きはこのくらいにして、本題に入りましょう。ルジャンドル陪関数が満たす直交関係とは、
定理
<tex>
\int_{-1}^1 \dfrac{P_l^m P_l^{m^\prime}}{1-x^2} dx = 0 (m \neq m^\prime) \tag{##}
</tex>
です。つまり、 $m \neq m^\prime$ の時、この一種の内積が０になるということです。
証明
式 $(2)$ に $m^2$ を掛けたものを変形していきます。
<tex>
m^2 \int_{-1}^1 \dfrac{P_l^m P_l^{m^\prime}}{1-x^2} dx
&= m^2 \int_{-1}^1 P_l^{m^\prime} \dfrac{P_l^m}{1-x^2} dx \\
&= m^2 \int_{-1}^1 P_l^{m^\prime} \left( \dfrac{d}{dx}\left[ (1-x^2) \dfrac{d P_l^m}{dx}\right] + l(l+1)P_l^m \right) dx\\
m^2 \left[ P_l^{m^\prime} (1-x^2) \dfrac{d P_l^m}{dx} \right]_{-1}^1 + m^2 \int_{-1}^1 - (1-x^2) \dfrac{d P_l^m}{dx} \dfrac{dP_l^{m^\prime}}{dx} + l(l+1)P_l^m P_l^{m^\prime} dx
\tag{##}
</tex>
&= m^{\prime 2} \left[ P_l^{m} \left[ (1-x^2) \dfrac{d P_l^{m^\prime }{dx} \right]_{-1}^1 + m^{\prime 2} \int_{-1}^1 \dfrac{d P_l^m}{dx} \left( \dfrac{d}{dx}\left[ (1-x^2) P_l^{m^\prime} \right]
+ l(l+1)P_l^m \right) dx
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-11-30@@
@@category:量子力学@@
@@id:legendreOrtho@@
記事ソース/ルジャンドル陪関数の直交関係（拙著、ものにする量子力学の補遺） のバックアップの現在との差分(No.24)
