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リー微分の導出方法(ベクトルと１形式)
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最近、リー微分を勉強していたのですが、
ベクトルと一形式の両方を素直な方法で求めている本が無かったので自分で求めてみました。
下に挙げる参考文献 理論物理学のための幾何学とトポロジーI を読みながら、
この記事を読むといいと思います。
ベクトルのリー微分
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ベクトルのリー微分の定義は、
<tex>
\mathcal{L}_X Y = \lim_{\varepsilon \to 0} \dfrac{1}{\varepsilon} \left[ (\sigma_{-\varepsilon})_* Y|_{\sigma_{\varepsilon(x)}} - Y|_x \right] \tag{##}
</tex>
です。
直感的なイメージは、曲面上に滑らかなベクトル場 $X(s)$ があって、それをある点 $P(x)$ において、別のベクトル場について、その点で $Y|_x$ だったとします。
ここで $X$ に沿って微小量 $s=\varepsilon$ だけ進める操作を $\sigma_{\varepsilon}(x)$ で表し、すると、 $Y|_x$ は $Y|_{\sigma_{\varepsilon(x)}}$ となります。
ここで、両者の微分を考えるわけです。しかし、ベクトル $Y$ 自体が変化するのはもちろん、この二つのベクトルは別の点から出ているので、基底ベクトル $e|_x$ と $e|_{x + \varepsilon X}$ が同じではありません。
よって、その補正を $(\sigma_{-\varepsilon})_*$ で行う訳です。下についた $*$ は、微分写像と言うもので、表示の方法を変えるというイメージを持つといいと思います。
これは簡単に言うと、 $\sigma_{\varepsilon(x)}$ のベクトルを"平行移動"して、 $x$ まで運んだ場合に換算したものです。その間、微妙に基底ベクトル $e$ は変化します。
それを踏まえて、式 $(1)$ を計算します。
<tex>
Y|_{\sigma_\varepsilon(x)} &= Y^\mu(x^\nu + \varepsilon X^\nu) e_\mu|_{x + \varepsilon X} \\
&\simeq \left[ Y^\mu + \varepslion X^\nu (\partial_\nu Y^\mu) \right] e|_{x + \varepsilon X} \tag{##}
</tex>
以上では $\simeq$ を使いましたが、以降では $\varepsilon$ の二次以上の項を無視してイコールで結ぶことにします。
では、基底ベクトルを変換しましょう。先にある基底ベクトルを戻してくるので $(\sigma_{-\varepsilon})_*$ の添え字は、 $\varepsilon$ ではなく $-\varepsilon$ となります。
<tex>
(\sigma_{-\varepsilon})_* e_\mu|_{x + \varepsilon X} = \partial_\mu \left( x^\nu - \varepsilon X^\nu \right)e_\nu|_x \tag{##}
</tex>
式 $(2)$ と $(3)$ を合わせて、リー微分を求めましょう。
<tex>
(\sigma_{-\varepsilon})_* Y|_{\sigma_\varepsilon(x)} &= Y^\mu(x^\nu + \varepsilon X^\nu) (\sigma_{-\varepsilon})_* e_\mu|_{x + \varepsilon X} \\
&= \left[ Y^\mu + \varepslion X^\nu (\partial_\nu Y^\mu) \right] \left[ \partial_\mu \left( x^\nu - \varepsilon X^\nu \right) \right]e_\nu|_x \\
&= \left[ Y^\mu + \varepslion X^\lambda (\partial_\lambda Y^\mu) \right] \left[ \delta_\mu^\nu - \varepsilon (\partial_\mu X^\nu) \right]e_\nu|_x \\
&= Y^\mu e_\mu|_x + \varepslion \left[ X^\lambda (\partial_\lambda Y^\mu) e_\mu|_x - Y^\mu (\partial_\mu X^\nu) e_\nu|_x \right] \\
&= Y^\mu e_\mu|_x + \varepslion \left[ X^\mu (\partial_\mu Y^\nu) - Y^\mu (\partial_\mu X^\nu) \right] e_\nu|_x \tag{##}
</tex>
ですから、
<tex>
\mathcal{L}_X Y = \left[ X^\mu (\partial_\mu Y^\nu) + Y^\mu (\partial_\mu X^\nu) \right] e_\nu|_x \tag{##}
</tex>
となります。ちなみに $(\partial X)$ は偏微分がカッコの外には及ばないことを意味しています。ご注意を。
１形式のリー微分
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自分が調べた限りでは、多くの文献では内部積と言う概念を用いて、１形式のリー微分を定義しています。
２形式、３形式などへの拡張が容易だからです。しかし、参考文献のように幾何学的イメージを大切にした導出法も
残しておくべきだと思うので、ここに書きます。
１形式のリー微分の定義は、
<tex>
\mathcal{L}_X \omega = \lim_{\varepsilon \to 0} \dfrac{1}{\varepsilon}\left[ (\sigma_\varepsilon)^* \omega|_{\sigma_\varepsilon(x)} - \omega|_x \right] \tag{##}
</tex>
です。
引き戻しと言う概念を必要とします。
今回使う形は、 $(\sigma_\varepsilon)^*$ です。微分写像と引き戻しは対になる概念です。
微分写像はベクトルに作用します。一方、引き戻しは１形式に作用します。
引き戻しの定義は、
<tex>
\langle \sigma^* \omega, Y \rangle = \langle \omega, \sigma_* Y \rangle \tag{##}
</tex>
を満たす演算です。ここで、 $\langle , \rangle$ は内積です。
ちなみに、左から $T^*N,TN,T^*M,TM$ を表します。内積は対応する双対空間と行われるということです。
式 $(7)$ の右辺(Right Hand Side)は、
<tex>
RHS
&= \omega_\mu \left( \partial_\mu (x^\nu + \varepsilon X^\nu) Y^\nu \right) \\
&= \left( \omega_\mu \partial_\mu (x^\nu + \varepsilon X^\nu) \right) Y^\nu \\
&= LHS \tag{##}
</tex>
つまり、 $Y^\nu \to e_\nu|_{x}$ とすれば、
<tex>
\langle (\sigma_\varepsilon)^* e^\nu|_{x + \varepsilon X}, e_\mu|_x \rangle = \langle e^\nu|_{x + \varepsilon X}, (\sigma_\varepsilon)_* e_\mu|_x \rangle \tag{##}
</tex>
と分かります。具体的には $e^\nu|_{x + \varepsilon X}$ は、 $\omega_\mu$ の基底ベクトルですから、よって、
<tex>
(\sigma_{\varepsilon})^* e^\nu|_{x + \varepsilon X} = \left( \omega_\mu \partial_\mu (x^\nu + \varepsilon X^\nu) \right) Y^\nu e_\nu|_x \tag{##}
</tex>
が言えました。ここの $\omega_\mu$ に１形式の変化量(テイラー展開)を考慮すれば、リー微分が求まります。
<tex>
(\sigma_{\varepsilon})^* \omega &= \omega|_{\sigma_\varepsilon(x)} (\sigma_{\varepsilon})^* e^\nu|_{x + \varepsilon X} \\
&= \left[ \omega_\mu + \varepsilon X^\lambda(\partial_\lambda \omega_mu) \right] \left[ \partial_\nu (x^\mu + \varepsilon X^\mu) \right] e^\nu|_x \\
&= \left[ \omega_\mu + \varepsilon X^\lambda(\partial_\lambda \omega_mu) \right] \left[ \delta_\nu^\mu + \varepsilon (\partial_\nu X^\mu)) \right] e^\nu|_x \\
&= \omega_\mu e^\nu|_x + \varepsilon X^\lambda(\partial_\lambda \omega_mu) \delta_\nu^\mu e^\nu|_x + \varepsilon \omega_\mu (\partial_\nu X^\mu) e^\nu|_x \\
&= \omega_\mu e^\nu|_x + \varepsilon \left[ X^\nu(\partial_\nu \omega_mu) + \omega_\nu (\partial_\mu X^\nu) \right] e^\mu|_x \tag{##}
</tex>
となることから、
<tex>
\mathcal{L}_X \omega = \left[ X^\nu(\partial_\nu \omega_mu) + \omega_\nu (\partial_\mu X^\nu) \right] e^\mu|_x \tag{##}
</tex>
となります。今日はここまで。お疲れさまでした。
@@reference: 中原幹夫,理論物理学のための幾何学とトポロジーI,ピアソン・エデュケーション,2000,p148-p151,978-4894711655@@
@@author:クロメル@@
@@accept:2019-04-02@@
@@category:微分形式@@
@@id:lieDerivative@@
記事ソース/リー微分の導出方法(ベクトルと１形式) のバックアップソース(No.2)
