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ポアソン括弧の変形法
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解析力学で言うポアソン括弧とは、
<tex>
\{ f,g \} = \dfrac{\partial f}{\partial q^i}\dfrac{\partial g}{\partial p_i}
-\dfrac{\partial f}{\partial p_i}\dfrac{\partial g}{\partial q^i} \tag{##}
</tex>
のことを言います。ただし、添え字の $i$ や $j$ が二回現れた時には、 $i=1,2,\cdots,N$ までの和を
取ることにします。Σ記号を省略するのです。
この記事で示したいものは、
<tex>
\{ f, q^i \} = \dfrac{\partial f}{\partial q^j} \{q^j , q^i \}
+ \dfrac{\partial f}{\partial p_j} \{ p_j , q^i \} \tag{##}
</tex>
<tex>
\{ f, p_i \} = \dfrac{\partial f}{\partial q^j} \{q^j , p_i \}
+ \dfrac{\partial f}{\partial p_j} \{ p_j , p_i \} \tag{##}
</tex>
の二式です。
ポアソン括弧は次の基本的な関係を満たします。
<tex>
\{q^i, q^j \} = 0 \tag{##}
</tex>
<tex>
\{p_i, p_j \} = 0 \tag{##}
</tex>
<tex>
\{q^i, p_j \} = \delta^i_j \tag{##}
</tex>
但し、 $\delta^i_j$ はクロネッカーのデルタです。つまり、
<tex>
\delta^i_j= \begin{cases}
1 \ \ \ (i=j) \\
0 \ \ \ (i \neq j)
\end{cases} \tag{##}
</tex>
です。
さあ、式 $(2)$ を示しましょう。
<tex>
\{ f, q^i \} &= \dfrac{\partial f}{\partial q^j}\dfrac{\partial q^i}{\partial p_j}
-\dfrac{\partial f}{\partial p_j}\dfrac{\partial q^i}{\partial q^j} \\
&= \left( \dfrac{\partial f}{\partial q^j}\dfrac{\partial q^j}{\partial q^j}
+ \dfrac{\partial f}{\partial p_j}\dfrac{\partial p_j}{\partial q^j} \right) \dfrac{\partial q^i}{\partial p_j} - \left( \dfrac{\partial f}{\partial q^j}\dfrac{\partial q^j}{\partial p_j}
+ \dfrac{\partial f}{\partial p_j}\dfrac{\partial p_j}{\partial p_j} \right) \dfrac{\partial q^i}{\partial q^j} \\
&= \dfrac{\partial f}{\partial q^j} \left( \dfrac{\partial q^j}{\partial q^j}\dfrac{\partial q^i}{\partial p_j}
- \dfrac{\partial q^j}{\partial p_j}\dfrac{\partial q^i}{\partial q^j} \right) + \dfrac{\partial f}{\partial p_jj} \left( \dfrac{\partial p_jj}{\partial q^j}\dfrac{\partial q^i}{\partial p_j}
- \dfrac{\partial p_j}{\partial p_j}\dfrac{\partial q^i}{\partial q^j} \right) \\
&= \dfrac{\partial f}{\partial q^j} \{ q^j,q^i \} +\dfrac{\partial f}{\partial p_j} \{ p_j,q^i \} \\
&= \dfrac{\partial f}{\partial p_j} (-\delta_j^i) \\
&= -\dfrac{\partial f}{\partial p_i} \tag{##}
</tex>
となります。式 $(3)$ も同様に
<tex>
\{ f, p_i \} &= \dfrac{\partial f}{\partial q^j} \{ q^j,p_i \} +\dfrac{\partial f}{\partial p_j} \{ p_j,p_i \} \\
&= \dfrac{\partial f}{\partial q^i} \tag{##}
</tex>
となります。それでは今日はこの辺で。
@@reference: 菅野礼司,ゲージ理論の解析力学,吉岡書店,2007,p43,9784842703428@@
@@reference: 菅野礼司,ゲージ理論の解析力学,吉岡書店,2007,p43,4842703423@@
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-03-02@@
@@category:力学@@
@@id:poiBracket@@
記事ソース/ポアソン括弧の変形法 のバックアップ差分(No.11)
