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============================================================ ヒルベルト変換とフーリエ変換 ============================================================ ヒルベルト変換 $H$ とは、主値積分を $P$ とした時、その関数 $f$ への作用を, <tex> H[f(t)] = \dfrac{1}{\pi} P \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{f(t^\prime)}{t-t^\prime}dt^\prime \tag{##} </tex> というものです。これは符号関数 <tex> \rm{sgn}(\omega) = \begin{cases} 1 \ \ \ (\omega > 0) \\ 0 \ \ \ (\omega = 0) \\ -1 \ \ \ (\omega < 0) \end{cases} \tag{##} </tex> と関数 $\hat{f}(\omega)$ (f(t)のフーリエ変換)の積 $-i \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega)$ のフーリエ逆変換から自然に出てきます。 結果がヒルベルト変換になる逆フーリエ変換 ======================================================== 実際、逆フーリエ変換を施してみましょう。以下では $t-t^\prime \neq 0$ とします。(この時ω積分は発散します) <tex> \mathcal{F}^{-1}[-i \rm{sgn} \hat{f}(\omega)] &= \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} -i \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega) e^{i \omega t} </tex><tex> &= \dfrac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^\infty d \omega \rm{sgn}(\omega) e^{i \omega t} \left( P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) e^{-i \omega t^\prime} \right) </tex><tex> &= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) \left( \int_{-\infty}^\infty d \omega \rm{sgn}(\omega) e^{i \omega (t-t^\prime)} \right) </tex><tex> &= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) \left( \int_0^\infty d \omega e^{i \omega (t-t^\prime)} - \int_{-\infty}^0 d \omega e^{i \omega (t-t^\prime)} \right) </tex><tex> &= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) \left( \left[ \dfrac{e^{i \omega (t-t^\prime)}}{i(t-t^\prime)} \right]_0^{\infty} - \left[ \dfrac{e^{i \omega (t-t^\prime)}}{i(t-t^\prime)} \right]_{-\infty}^0 \right) t} \left( P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i \omega t^\prime} \right) </tex><tex> &= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) \left( \dfrac{-2}{i(t-t^\prime)} \right) </tex><tex> &= \dfrac{1}{\pi} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime \dfrac{f(t^\prime)}{t-t^\prime} </tex><tex> &= H[f(t)] \tag{##} </tex> と、この様にヒルベルト変換が出てきました。 ヒルベルト変換のフーリエ変換 ============================================ 式 $(3)$ をフーリエ変換してみます。 <tex> \mathcal{F}\left[ H[f(t)] \right] &= P \int_{-\infty}^\infty dt e^{-i \omega t} \dfrac{1}{\pi} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime \dfrac{f(t^\prime)}{t-t^\prime} \\ &= \dfrac{1}{\pi} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i \omega t^\prime} f(t^\prime) \left( P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} \right) \tag{##} </tex> .. image :: chromel-HilbertTransform.png 式 $(4)$ の最終行の丸かっこ内の $t$ 積分を実行します。被積分関数を $\psi(t)$ と置くと、 $\omega > 0$ の時、下半面で $C_R$ 積分はゼロになり(ジョルダンの補題)、 $C_{\varepsilon}$ は $t=t^\prime$ で時計回りに半周に対し、留数 $ x = \rm{Res}_{t = t^\prime} \psi(t)$ が反時計回りで一周なので、 $-x/2$ となります。(この証明は)後は実軸上の直線部分が求めたい積分のマイナス一倍となります。この領域には極が含まれていないので、積分は一周してゼロです。つまり、 <tex> \left( \int_{C_R} + \int_{\infty}^{t+\varepsilon} + \int_{C_\varepsilon} + \int_{t-\varepsilon}^{-\infty} \right) \psi(t) = 0 \tag{##} </tex> <tex> P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} &= \int_{-\infty}^{t-\varepsilon} + \int_{t+\varepsilon}^{\infty} \right) \psi(t) dt \\ &= \int_{C_\varepsilon} \psi(t) dt \\ &= - \dfrac{1}{2} 2 \pi i Res_{t=t^\prime} \psi(t) \\ &= - \dfrac{1}{2} \lim_{t \to t^\prime} (t-t^\prime) \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} \\ &= - \pi i \tag{##} </tex> これと同様に $\omega<0$ の時の積分を行うと、 $\pi i$ が得られます。 よって、 <tex> P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} &= -\pi i \rm{sgn}(\omega) \tag{##} </tex> と分かります。( $\omega = 0$ の時はどうしたものか?) よって、式 $(4)$ の計算を続行すると、 <tex> \mathcal{F}\left[ H[f(t)] \right] &= \dfrac{1}{\pi} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i \omega t^\prime} f(t^\prime) \left( P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} \right) \\ &= \dfrac{1}{\pi} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i \omega t^\prime} f(t^\prime) \left( -\pi i \rm{sgn}(\omega) \right) \\ &= -i \left( \rm{sgn}(\omega) \right) P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i \omega t^\prime} f(t^\prime) \\ &= -i \left( \rm{sgn}(\omega) \right) \hat{f}(\omega) \tag{##} </tex> となり、無事ヒルベルト変換のフーリエ変換が求まりました。 今日はここまで、お疲れさまでした! @@reference: 渡部隆一、宮崎浩、遠藤静男 共著,改訂工科の数学4 複素関数論,培風館,1969,p105,4563005339@@ @@author:クロメル@@ @@accept:2020-03-11@@ @@category:物理数学@@ @@id:HilbertTransform@@