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ヒルベルト変換とフーリエ変換
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ヒルベルト変換 $H$ とは、主値積分を $P$ とした時、その関数 $f$ への作用を,
<tex>
H[f(t)] = \dfrac{1}{\pi} P \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{f(t^\prime)}{t-t^\prime}dt^\prime \tag{##}
</tex>
というものです。これは符号関数
<tex>
\ \rm{sgn}(\omega) =
\begin{cases}
1 \ \ \ (\omega > 0) \\
0 \ \ \ (\omega = 0) \\
-1 \ \ \ (\omega < 0)
\end{cases}
\tag{##}
</tex>
と関数 $\hat{f}(\omega)$ (f(t)のフーリエ変換)の積 $-i \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega)$ のフーリエ逆変換から自然に出てきます。
結果がヒルベルト変換になる逆フーリエ変換
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実際、逆フーリエ変換を施してみましょう。以下では $t-t^\prime \neq 0$ とします。（この時ω積分は発散します）
<tex>
\mathcal{F}^{-1}[-i \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega)]
&= \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} -i \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega) e^{i \omega t} \\
&= \dfrac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^\infty d \omega \ \rm{sgn}(\omega) e^{i \omega t} \left( P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) e^{-i \omega t^\prime} \right) \\
&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) \left( \int_{-\infty}^\infty d \omega \ \rm{sgn}(\omega) e^{i \omega (t-t^\prime)} \right) \\
&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) \left( \int_0^\infty d \omega e^{i \omega (t-t^\prime)} - \int_{-\infty}^0 d \omega e^{i \omega (t-t^\prime)} \right) \\
&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) \left( \left[ \dfrac{e^{i \omega (t-t^\prime)}}{i(t-t^\prime)} \right]_0^{\infty} - \left[ \dfrac{e^{i \omega (t-t^\prime)}}{i(t-t^\prime)} \right]_{-\infty}^0 \right) \\
&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) \left( \dfrac{-2}{i(t-t^\prime)} \right) \\
&= \dfrac{1}{\pi} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime \dfrac{f(t^\prime)}{t-t^\prime} \\
&= H[f(t)]
\tag{##}
</tex>
と、この様にヒルベルト変換が出てきました。
ヒルベルト変換のフーリエ変換
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式 $(3)$ をフーリエ変換してみます。(主値積分とは積分記号に付くものではなく $t=t^\prime$ の時を除くと考えれば良さそうです。)
<tex>
\mathcal{F}\left[ H[f(t)] \right]
&= \int_{-\infty}^\infty dt e^{-i \omega t} \dfrac{1}{\pi} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime \dfrac{f(t^\prime)}{t-t^\prime} \\
&= \dfrac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i \omega t^\prime} f(t^\prime) \left( P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} \right)
\tag{##}
</tex>
.. image :: chromel-HilbertTransform-01.png
式 $(4)$ の最終行の丸かっこ内の $t$ 積分を実行します。被積分関数を $\psi(t)$ と置くと、 $\omega > 0$ の時、下半面で $C_R$ 積分はゼロになり（ジョルダンの補題）、 $C_{\varepsilon}$ は $t=t^\prime$ で時計回りに半周に対し、留数 $ x = \rm{Res}_{t = t^\prime} \psi(t)$ が反時計回りで一周なので、 $-x/2$ となります。（この証明は、下記参考文献のp.105にあります。）後は実軸上の直線部分が求めたい積分のマイナス一倍となります。この領域には極が含まれていないので、積分は一周してゼロです。つまり、
式 $(4)$ の最終行の丸かっこ内の $t$ 積分を実行します。被積分関数を $\psi(t)$ と置くと、 $\omega > 0,R \to \infty, \varepsilon \to +0$ の時、下半面で $C_R$ 積分はゼロになり（ジョルダンの補題）、 $C_{\varepsilon}$ は $t=t^\prime$ で時計回りに半周に対し、留数 $ x = \rm{Res}_{t = t^\prime} \psi(t)$ が反時計回りで一周なので、 $-x/2$ となります。（この証明は、下記参考文献のp.105にあります。）後は実軸上の直線部分が求めたい積分のマイナス一倍となります。この領域には極が含まれていないので、積分は一周してゼロです。つまり、
<tex>
&\left( \int_{C_R} + \int_{\infty}^{t+\varepsilon} + \int_{C_\varepsilon} + \int_{t-\varepsilon}^{-\infty} \right) \psi(t) = 0 \tag{##} \\
\\
\\
&P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} \\
&= \left( \int_{-\infty}^{t-\varepsilon} + \int_{t+\varepsilon}^{\infty} \right) \psi(t) dt \\
&= \int_{C_\varepsilon} \psi(t) dt \\
&= - \dfrac{1}{2} 2 \pi i Res_{t=t^\prime} \psi(t) \\
&= - \dfrac{1}{2} \lim_{t \to t^\prime} (t-t^\prime) \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} \\
&= - \pi i
\tag{##}
</tex>
これと同様に $\omega<0$ の時の積分を行うと、 $\pi i$ が得られます。
よって、
<tex>
P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime}
&= -\pi i \ \rm{sgn}(\omega)
\tag{##}
</tex>
と分かります。（ $\omega = 0$ の時はどうしたものか？）
よって、式 $(4)$ の計算を続行すると、
<tex>
\mathcal{F}\left[ H[f(t)] \right]
&= \dfrac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i \omega t^\prime} f(t^\prime) \left( P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} \right) \\
&= \dfrac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i \omega t^\prime} f(t^\prime) \left( -\pi i \ \rm{sgn}(\omega) \right) \\
&= -i \ \rm{sgn}(\omega) P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i \omega t^\prime} f(t^\prime) \\
&= -i \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega)
\tag{##}
</tex>
となり、無事ヒルベルト変換のフーリエ変換が求まりました。
今日はここまで、お疲れさまでした！
@@reference: 渡部隆一、宮崎浩、遠藤静男 共著,改訂工科の数学４ 複素関数論,培風館,1969,p105,4563005339@@
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-03-11@@
@@category:物理数学@@
@@id:HilbertTransform@@
記事ソース/ヒルベルト変換とフーリエ変換 のバックアップ差分(No.17)
