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記事ソース/ハイネ・ボレルの被覆定理と論理学†

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ハイネ・ボレルの被覆定理と論理学
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複素関数論を勉強していて、ハイネ・ボレルの被覆定理というものに出会いました。
詳しくは、「数学・物理解説サイト JSciencer」さんの Heine-Borelの被覆定理_ をご覧いただくとして、
論理学的側面から、言いかえを行ってみたいと思います。
その定理というものは次のようなものです。

定理(下記参考文献からの引用)
=================================

z平面上の任意の閉集合 $A$ は、それが開集合 $U_\lambda \ \ (\lambda \in \Lambda : \Lambda$ は点集合 $)$ の合併集合 $U= \cap_{\lambda \in \Lambda}U_\lambda$ で覆われているならば、有限個の集合 $U_\lambda$ で覆われる。

ここで、

α:z平面上の任意の閉集合 $A$ である。

β:開集合の合併集合 $U$ で覆われている。

γ:有限個の集合で覆われる。

とおくと、この定理の意味するところは、 $\alpha \Rightarrow (\beta \Rightarrow \gamma)$ となります。
この論理を言い換えてみましょう。まず、真理値表を書くと、

.. csv-table:: 
  :header: "\alpha", "\beta", " $\gamma$ ","\beta \Rightarrow \gamma","\alpha \Rightarrow (\beta \Rightarrow \gamma)"
  
  "T","T","T","T","T"
  "T","T","F","F","F"
  "T","F","T","T","T"
  "T","F","F","T","T"
  "F","T","T","T","T"
  "F","T","F","F","T"
  "F","F","T","T","T"
  "F","F","F","T","T"
  
となります。

.. _Heine-Borelの被覆定理: http://jsciencer.com/unimath/bisekibun/2125/

@@reference: 松田哲,理工系の基礎数学５『複素関数』,岩波書店,1996,p15,4000079751@@

@@author:クロメル@@
@@accept:2014-01-14@@
@@category:論理学@@
@@id:heineBorel@@