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ジョルダン細胞のｎ乗
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ジョルダンの標準形で有名なジョルダン細胞のｎ乗を求めます。
ジョルダン細胞
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ジョルダン細胞とは、次のｎ次正方行列のことを言います。
<tex>
J_n =
\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
このｎ乗を求めてみましょう。
注目する性質は、対角行列（単位行列の定数倍） $\Lambda$
<tex>
\Lambda =
\begin{pmatrix}
\lambda & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
のどんな行列とも可換な性質と、
べきゼロ行列 $N$
<tex>
N =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
の持つ、何乗かするとゼロになる性質です。
ためしに四次のべきゼロ行列のべき乗を求めてみましょう。
<tex>
N =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
<tex>
N^2 =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
<tex>
N^3 =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
<tex>
N^4 =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
とこの様に、べき乗すると１のなすラインが上がっていきます。
ここで求めたいのは、
<tex>
(J_n)^i = (\Lambda + N)^i \tag{##}
</tex>
です。二項定理を用います。
<tex>
(J_n)^i &= (\Lambda + N)^i \\
&= _n C_0 \Lambda^n + _n C_1 \Lambda^{n-1} N^{1} + _n C_2 \Lambda^{n-2} N^{2} + \cdots \tag{##}
</tex>
ここで $N$ のべき数を昇順にならべました。あるところからは、 $N^i$ はゼロ行列になります。
簡単な例
================
<tex>
J_4 =
\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & \lambda
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
<tex>
(J_4)^2 =
\begin{pmatrix}
\lambda^2 & 2 \lambda & 1 & 0 \\
0 & \lambda^2 & 2 \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda^2 & 2 \lambda \\
0 & 0 & 0 & \lambda^2
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
<tex>
(J_4)^3 =
\begin{pmatrix}
\lambda^3 & 3 \lambda^2 & 3 \lambda & 1 \\
0 & \lambda^3 & 3 \lambda^2 & 3 \lambda \\
0 & 0 & \lambda^3 & 3 \lambda^2 \\
0 & 0 & 0 & \lambda^3
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
<tex>
(J_4)^4 =
\begin{pmatrix}
\lambda^4 & 4 \lambda^3 & 6 \lambda^2 & 4 \lambda \\
0 & \lambda^4 & 4 \lambda^3 & 6 \lambda^2 \\
0 & 0 & \lambda^4 & 4 \lambda^3 \\
0 & 0 & 0 & \lambda^4
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
とこの様に簡単にべき乗が求まります。
それでは、今日はこの辺で。
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-03-11@@
@@category:物理数学@@
@@id:jordanCalcu@@
記事ソース/ジョルダン細胞のｎ乗 のバックアップ差分(No.1)
