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グリーン関数を理解しよう(相関関数の計算)
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これからいくつかの記事を通して、
物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目指します。
いくつかの定理などの証明は省略して、要点の俯瞰をする方針で行きます。
参考文献として、下に書くMahan先生の本を挙げて
おきます。このシリーズでは $\hbar=1$ とします。
前の記事は 相互作用表示とS行列_ です。
次の記事は 電子とフォノン_ です。( 目次_ )
グリーン関数の意味
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（典型的なフェルミオンである）電子のグリーン関数を挙げましょう。
<tex>
G(\lambda, t-t^\prime) = -i \langle | T C_\lambda(t) C^\dagger_\lambda(t^\prime)| \rangle \tag{##}
</tex>
ここで、 $\lambda$ は粒子を特徴づける量子数（主に運動量とスピン $\lambda = (\bm{p},\sigma)$ ）、 $T$ は時間順序演算子です。係数の $-i$ は全体の位相の固定(一つこれを選ぶと、他も全てこの因子に合わせて相対的に考えなければならない)であり、フーリエ変換後の関数形が綺麗になるように選んでいるのだと思います。また基底状態ベクトル $\langle | (= \psi^\dagger(0))$ と $| \rangle (= \psi(0))$ は、相互作用のある時の( $H$ の)基底状態を表しています。
<tex>
C_\lambda(t) = e^{iHt} C_\lambda e^{-iHt} \tag{##}
</tex>
はハイゼンベルク表示での粒子の消滅演算子です。そして $C^\dagger_\lambda| \rangle = \psi_\lambda = |\lambda \rangle$ は相互作用のない時の( $H_0$ )の固有状態で完全系をなします。
式 $(1)$ は階段関数
<tex>
\Theta(t) =
\begin{cases}
0 (t<0) \\
1/2 (t=0) \\
1 (t>0) \\
\end{cases}
\tag{##}
</tex>
を用いて、
<tex>
G(\lambda, t-t^\prime) =
-i \Theta(t-t^\prime) \langle | C_\lambda(t) C^\dagger_\lambda(t^\prime)| \rangle \\
i \Theta(t^\prime-t) \langle | C^\dagger_\lambda(t^\prime) C_\lambda(t)| \rangle
\tag{##}
</tex>
とも書けます。
第一項を考えましょう。この時 $t>t^\prime$ です。
<tex>
G(\lambda, t>t^\prime) = -i \langle | C_\lambda(t) C^\dagger_\lambda(t^\prime)| \rangle
\tag{##}
</tex>
これは $t = t^\prime$ において基底状態に状態 $\lambda$ の電子一個を生成し（励起し）、
その後の $t=t$ において、電子を消滅させることを意味しています。
グリーン関数と確率
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ここで量子力学の復習をしましょう。状態 $| \lambda_i \rangle \ \ (i = 0,1,2,\cdots)$ があったとします。
この時、 $\lambda_i$ が完全系を張るなら、 $1 = \sum_i | \lambda_i \rangle \langle \lambda_i |$
を使って、任意の状態 $| \Phi \rangle$ は
<tex>
| \Phi \rangle
&= \sum_i | \lambda_i \rangle \langle \lambda_i | \phi \rangle \\
&= \sum_i a_i | \lambda_i \rangle
\tag{##}
</tex>
と展開されます。この $\Phi$ の中に $| \lambda_i \rangle$ が入っている確率は、
<tex>
\left| \langle \lambda_i | \Phi \rangle \right|^2= |a_i|^2
\tag{##}
</tex>
となるのでした。ここで、式 $(4)$ を見てみましょう。 $|-i|=|i|=1$ ですから、
<tex>
\left| G(\lambda, t-t^\prime) \right|^2
&= \left| -i \Theta(t-t^\prime) \langle | C_\lambda(t) C^\dagger_\lambda(t^\prime)| \rangle \right. \\
&\left. i \Theta(t^\prime-t) \langle | C^\dagger_\lambda(t^\prime) C_\lambda(t)| \rangle \right|
</tex>
もし本来 $H_0$ の固有状態である $| \lambda \rangle$ が $H$ の固有状態だったとしましょう。
（また、 $| \rangle$ は $H$ の基底状態であり、つまり、固有状態でもあります。）
この時、 $H |\lambda \rangle = \varepsilon_\lambda | \lambda \rangle$
、 $H | \rangle = \varepsilon_0 | \rangle$ ですから、
<tex>
G(\lambda, t>t^\prime) = -i \exp [-i(t-t^\prime)(\varepsilon_\lambda - \varepsilon_0)]
\tag{##}
</tex>
次の記事は 電子とフォノン_ です。
.. _目次: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreenIndex/
.. _相互作用表示とS行列: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen01/
.. _電子とフォノン: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen03/
@@reference: Gerald D.Mahan, Many-Particle Physics (Physics of Solids and Liquids), Springer, 2010, Chap2, 1441933395@@
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-05-04@@
@@accept:2020-05-05@@
@@category:量子力学@@
@@id:studyGreen01@@
@@id:studyGreen02@@
記事ソース/グリーン関数を理解しよう(相関関数の計算) のバックアップ差分(No.2)
