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グリーン関数を理解しよう(ウィックの定理)
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これからいくつかの記事を通して、
物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目指します。
いくつかの定理などの証明は省略して、要点の俯瞰をする方針で行きます。
参考文献として、下に書くMahan先生の本を挙げて
おきます。このシリーズでは $\hbar=1$ とします。
前の記事は 電子とフォノンのグリーン関数_ です。
次の記事は ファインマンダイアグラム_ です。( 目次_ )
ちょっと休憩
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相互作用 $\hat{V}(t)$ にはどんなものがあるのか、
ここで気晴らしもかねて、三つほど挙げてみようと思います。
図において時間は左から右に流れます。
１．電子-電子相互作用
<tex>
\hat{V}(t) = \dfrac{1}{2}\sum_{\bm{k}\bm{k^\prime}\bm{q}}\sum_{ss^\prime} \dfrac{4 \pi e^2}{q^2} C^\dagger_{\bm{k}+\bm{q},s} C^\dagger_{\bm{k^\prime}-\bm{q},s^\prime} C_{\bm{k^\prime},s^\prime} C_{\bm{k},s} \exp(it(\xi_{\bm{k}+\bm{q}}+\xi_{\bm{k^\prime}-\bm{q}}-\xi_{\bm{k^\prime}}-\xi_{\bm{k}}))
\tag{##}
</tex>
.. image :: chromel-studyGreen04-01.png
２．電子-フォノン相互作用
<tex>
\hat{V}(t) = \sum_{\bm{q}\bm{k}s} M_{\bm{q}} A_{\bm{q}} C^\dagger_{\bm{k}+\bm{q},s} C_{\bm{k},s}
\tag{##}
</tex>
ここで、 $M_{\bm{q}}$ は $\bm{p}$ に依存する係数です。
.. image :: chromel-studyGreen04-02.png
３．電子-フォトン相互作用
これについては、全ハミルトニアンを書きます。
<tex>
H = \sum_{i} \dfrac{1}{2m} \left[ \bm{p}_i - \dfrac{e}{c}\bm{A}_i \right]^2 + \sum_{i \neq j} \dfrac{e_i e_j}{2r_{ij}} + \sum_{\bm{k} \lambda} \omega_{\bm{k} \lambda} a^\dagger_{\bm{k} \lambda} a_{\bm{k} \lambda}
\tag{##}
</tex>
ここで、 $\bm{A}_i$ はベクトルポテンシャルで、 $a_{\bm{k} \lambda}$ は光子の消滅演算子でありボゾン演算子です。
実はクーロン反発である１は、この３の相互作用として含まれているそうです。
ウィックの定理
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さあ、予告通り相互作用のあるグリーン関数を自由なグリーン関数で展開しましょう。
それには 相関関数の計算_ の最後で導出した式を使います。
再掲しておきます。
<tex>
G(\bm{p},t-t^\prime)
&= -i \dfrac{_0 \langle | T \hat{C}_\bm{p}(t) \hat{C}^\dagger_\bm{p}(t^\prime) S(\infty,-\infty) | \rangle_0}{_0 \langle |T S(\infty,-\infty) | \rangle_0}
\tag{##}
</tex>
これともう一つ、 $S$ 行列の展開式( 相互作用表示とS行列_ の式 $(22)$ )が必要です。
<tex>
S(t,t^\prime) = T \exp \left[ -i \int_{t^\prime}^t dt_1 \hat{V}(t_1) \right]
\tag{##}
</tex>
これを
<tex>
S(\infty, -\infty) = T \exp \left[ -i \int_{-\infty}^\infty dt_1 \hat{V}(t_1) \right]
\tag{##}
</tex>
とします。式 $(6)$ を式 $(4)$ に代入すると、
<tex>
G(\bm{p},t-t^\prime)
&= -i \dfrac{_0 \langle | T \hat{C}_\bm{p}(t) \hat{C}^\dagger_\bm{p}(t^\prime) \exp \left[ -i \int_{-\infty}^\infty dt_1 \hat{V}(t_1) \right] | \rangle_0}{_0 \langle |T S(\infty,-\infty) | \rangle_0} \\
&= -i \dfrac{_0 \langle | T \hat{C}_\bm{p}(t) \hat{C}^\dagger_\bm{p}(t^\prime) \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-i)^{n}}{n!} \int_{-\infty}^\infty dt_1 \cdots \int_{-\infty}^\infty dt_n \hat{V}(t_1) \hat{V}(t_2) \cdots \hat{V}(t_n) | \rangle_0}{_0 \langle |T S(\infty,-\infty) | \rangle_0} \\
&= -i \dfrac{_0 \langle | T \hat{C}_\bm{p}(t) \hat{C}^\dagger_\bm{p}(t^\prime) \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-i)^{n}}{n!} \int_{-\infty}^\infty dt_1 \cdots \int_{-\infty}^\infty dt_n \hat{V}(t_1) \hat{V}(t_2) \cdots \hat{V}(t_n) | \rangle_0}{_0 \langle |T S(\infty,-\infty) | \rangle_0}
</tex><tex>
&= \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-i)^{n}}{n!} \int_{-\infty}^\infty dt_1 \cdots \int_{-\infty}^\infty dt_n \dfrac{_0 \langle | T \hat{C}_\bm{p}(t) \hat{C}^\dagger_\bm{p}(t^\prime) \hat{V}(t_1) \hat{V}(t_2) \cdots \hat{V}(t_n) | \rangle_0}{_0 \langle |T S(\infty,-\infty) | \rangle_0} \\
&= \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-i)^{n}}{n!} \int_{-\infty}^\infty dt_1 \cdots \int_{-\infty}^\infty dt_n \dfrac{_0 \langle | T \hat{C}_\bm{p}(t) \hat{V}(t_1) \hat{V}(t_2) \cdots \hat{V}(t_n) \hat{C}^\dagger_\bm{p}(t^\prime) | \rangle_0}{_0 \langle |T S(\infty,-\infty) | \rangle_0}
\tag{##}
</tex>
となります。
今日はここまで、お疲れ様でした。
次の記事は ファインマンダイアグラム_ です。
.. _目次: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreenIndex/
.. _相互作用表示とS行列: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen01/
.. _相関関数の計算: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen02/
.. _電子とフォノンのグリーン関数: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen03/
.. _ファインマンダイアグラム: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen05/
@@reference: Gerald D.Mahan, Many-Particle Physics Third Edition (Physics of Solids and Liquids), Springer, 2010, Chap2, 1441933395@@
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-05-05@@
@@category:量子力学@@
@@id:studyGreen04@@
記事ソース/グリーン関数を理解しよう(ウィックの定理) のバックアップ差分(No.8)
