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グリーン関数を理解しよう(ウィックの定理)
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これからいくつかの記事を通して、
物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目指します。
いくつかの定理などの証明は省略して、要点の俯瞰をする方針で行きます。
参考文献として、下に書くMahan先生の本を挙げて
おきます。このシリーズでは $\hbar=1$ とします。
前の記事は 電子とフォノンのグリーン関数_ です。
次の記事は ファインマンダイアグラム_ です。( 目次_ )
ちょっと休憩
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相互作用 $\hat{V}(t)$ にはどんなものがあるのか、
ここで気晴らしもかねて、三つほど挙げてみようと思います。
図において時間は左から右に流れます。
１．電子-電子相互作用
<tex>
\hat{V}(t) = \dfrac{1}{2}\sum_{\bm{k}\bm{k^\prime}\bm{q}}\sum_{ss^\prime} \dfrac{4 \pi e^2}{q^2} C^\dagger_{\bm{k}+\bm{q},s} C^\dagger_{\bm{k^\prime}-\bm{q},s^\prime} C_{\bm{k^\prime},s^\prime} C_{\bm{k},s}} \exp(it(\xi_{\bm{k}+\bm{q}}+\xi_{\bm{k^\prime}-\bm{q}}-\xi_{\bm{k^\prime}}-\xi_{\bm{k}}))
\hat{V}(t) = \dfrac{1}{2}\sum_{\bm{k}\bm{k^\prime}\bm{q}}\sum_{ss^\prime} \dfrac{4 \pi e^2}{q^2} C^\dagger_{\bm{k}+\bm{q},s} C^\dagger_{\bm{k^\prime}-\bm{q},s^\prime} C_{\bm{k^\prime},s^\prime} C_{\bm{k},s} \exp(it(\xi_{\bm{k}+\bm{q}}+\xi_{\bm{k^\prime}-\bm{q}}-\xi_{\bm{k^\prime}}-\xi_{\bm{k}}))
\tag{##}
</tex>
.. image :: chromel-studyGreen04-01.png
２．電子-フォノン相互作用
<tex>
\hat{V}(t) = \sum_{\bm{q}\bm{k}s} M_{\bm{q}} C^\dagger_{\bm{k}+\bm{q},s} C_{\bm{k},s}
\tag{##}
</tex>
ここで、 $M_{\bm{q}}$ は $\bm{p}$ に依存する係数です。
.. image :: chromel-studyGreen04-02.png
３．電子-フォトン相互作用
これについては、全ハミルトニアンを書きます。
<tex>
H = \sum_{i} \dfrac{1}{2m} \left[ \bm{p}_i - \dfrac{e}{c}\bm{A}_i \right]^2 + \sum_{i \neq j} \dfrac{e_i e_j}{2r_{ij}} \sum_{\bm{k} \lambda} \omega_{\bm{k} \lambda} a^\dagger_{\bm{k} \lambda} a_{\bm{k} \lambda}
\tag{##}
</tex>
ここで、 $\bm{A}_i$ はベクトルポテンシャルで、 $a_{\bm{k} \lambda}$ は光子の消滅演算子でありボゾン演算子です。
ウィックの定理
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今日はここまで、お疲れ様でした。
次の記事は ファインマンダイアグラム_ です。
.. _目次: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreenIndex/
.. _電子とフォノンのグリーン関数: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen03/
.. _ファインマンダイアグラム: http://hooktail.sub.jp/quantum/studyGreen05/
@@reference: Gerald D.Mahan, Many-Particle Physics Third Edition (Physics of Solids and Liquids), Springer, 2010, Chap2, 1441933395@@
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-05-05@@
@@category:量子力学@@
@@id:studyGreen04@@
記事ソース/グリーン関数を理解しよう(ウィックの定理) のバックアップ差分(No.3)
