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============================================================ グリーン関数と逆行列 ============================================================ グリーン関数と逆行列の類似性について書きます。 グリーン関数 ====================== 演算子 $L$ と既知関数 $f(x)$ 、未知関数 $\psi(x)$ があり以下の関係を満たすとします。 <tex> L\psi(x)=f(x) \tag{##} </tex> ここで、グリーン関数 $G(x-x^\prime)$ を 次の性質を持つ関数として、 定義します。 <tex> LG(x-x^\prime)=-\delta(x-x^\prime) \tag{##} </tex> 形式的に次のように書きます。 <tex> G(x-x^\prime)=-L^{-1}\delta(x-x^\prime) \tag{##} </tex> すると、結局関数 $\psi(x)$ は次のように書けます。 <tex> \psi(x) &= L^{-1}f(x^\prime) \\ &= - \int G(x-x^\prime) f(x^\prime) dx^\prime \tag{##} </tex> 逆行列 =================== 一方、逆行列を持つ行列 $A$ 、 既知ベクトル $\bm{b}$ 、 未知ベクトル $\bm{x}$ について、 次のような方程式を考えます。 <tex> A\bm{x}=\bm{b} \tag{##} </tex> ここで、グリーン関数の行列版とでも言えるような、 次のベクトル群 $\bm{g}_i$ を導入します。 <tex> A\bm{g}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> A\bm{g}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \end{pmatrix} \tag{##} </tex> すると、 <tex> \bm{x}= \sum_i b_i \bm{g}_i \tag{##} </tex> と表せます。ここで、 $b_i$ はベクトル $\bm{b}$ の第 $i$ 成分 です。 ここで、比較のため、式 $(4)$ をもう一度書きます。 <tex> \psi(x) = - \int G(x-x^\prime) f(x^\prime) dx^\prime \tag{4} </tex> きれいに二つが対応しているのが見てとれますね。 以上、小ネタでした。 それでは、今日はこの辺で。 @@author:クロメル@@ @@accept:2010-04-19@@ @@category:物理数学@@ @@id:inverseMatrix@@