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ガウスの法則-積分形
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マクスウェル方程式の中に、ガウスの法則というものがあります。式で書くと $div \textbf{D}= \rho $ ですが、これはどのようなことを示しているのでしょうか？
この記事では、ガウスの法則の物理的意味を解説します。まずは、直感的に分かりやすい積分形から見てみることにしましょう。
まずは式を眺めてみよう
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微分形のガウスの法則は
<tex>
div \textbf{D}= \rho
</tex>
ですが、これを積分形に直すと、このようになります。
<tex>
\oint _S \textbf{D} \cdot d\textbf{s} = Q
</tex>
ここで、 $S$ はある体積を囲む曲面、 $\textbf{D}$ は電束密度、 $Q$ は体積内にある総電荷を示します。
なぜこのように書き直せるのかは、別の記事で解説することにして、今はとりあえずこのようになると信じておきましょう。
図的イメージ
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式の中に、 $\oint _S$ という変な記号が出てきます。
これは、「ある体積を考えた場合に、その周りの曲面 $S$ 全体について積分を計算しなさい」という意味です。
つまり、ガウスの法則が意味するのは、「ある体積の表面 $S$ から出てくる電束密度 $\textbf{D}$ を全部数えると、その体積の中に入っている総電荷 $Q$ と一致する」ということです。 [*]_
.. [*]
実際に電束密度は1本、2本・・・と数えられる訳ではありません。あくまでもイメージです。
ちなみに、電束密度の単位は $[C/m^2]$ なので、面積で積分すると電荷量の次元になることが分かりますね。
下の図を見てください。
.. image:: shino-GaussIntFig1.png
この図の緑の矢印を電束密度 $\textbf{D}$ とします。今、青で示した体積の表面から20本の電束密度が出てきているなら、この青い体積の中には、20本分の電荷量が入っている、といったイメージです。 [*]_
.. [*]
繰り返しますが、電束密度が1本、2本と数えられる訳ではありません。あくまでも比喩的な表現です。
もう一度式を眺めてみよう
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繰り返して書きますが、積分形のガウスの法則は、
<tex>
\oint _S \textbf{D} \cdot d\textbf{s} = Q
</tex>
という式で表されましたね。
この式を良く見てみると、 $ds$ ではなく、わざわざ $d\textbf{s}$ と書いてあったり、
$\textbf{D}$ と $d\textbf{s}$ の間に $\cdot$ があったり、なんだか普通の積分と少し違うと思いませんか？
$\textbf{D}$ と $d\textbf{s}$ の間に点( $\cdot$ )があったり、なんだか普通の積分と少し違うと思いませんか？
実は、これらの記号はちゃんと理由があってこのような書き方がされています。
何をかこうかなぁー？
とりあえず、図を描いてみた。
色をつけてみた。
.. image:: shino-GaussIntFig2.png
もうひとつ図を描いてみた。
絵心ありませんね･･･(>_<)
さらに描き足してみました。なんだかごちゃごちゃした図になってしまった。。。
@@author: 篠原@@
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記事ソース/ガウスの法則-積分形 のバックアップ差分(No.13)
