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Ｘ線散乱における構造因子はなぜ複素数なのか？
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Ｘ線散乱において、構造因子 $S_k$ という概念があります。
<tex>
S_k = \sum_{j=1}^n e^{i\bm{K} \cdot \bm{d_j}} \tag{##}
</tex>
というものです。
はずかしながら、物理系の専攻で修士号を取った後である、今やっと理解できました。
この複素数がどんな意味を持つのか書いて行こうと思います。
すこし長くなるかもしれません。どうぞ、よろしければお付き合いください。
ラウエの条件
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.. image :: chromel-kouzouInshi-01.png
上の図をご覧ください。波数 $\bm{k}$ を持った光が二つの黒丸で表される散乱体で散乱され波数 $\bm{k}^\prime$ となって、
出ていく様子を表しています。この時、二つの点から出る光の行路差は
<tex>
d \cos \theta + d \cos \theta^\prime = \bm{d} \cdot (\bm{e}_k + \bm{e}_{k^\prime}) \tag{##}
</tex>
となりますね？ここで、光路差（行路差を移動した際に進む位相の大きさ）は行路差の $|\bm{k}|,|\bm{k}^\prime|$ 倍
ですから、 $\bm{e}_k , \bm{e}_{k^\prime}$ にそれぞれ掛けると、 $\bm{k},\bm{k}^\prime$ となります。
これが強め合う条件は、整数mとして、（光路差）＝2mπですから、
<tex>
\bm{d} \cdot (\bm{k}+\bm{k}^\prime) = 2m \pi \tag{##}
</tex>
となります。もし、今この結晶の基本単位格子がただ一つの原子からなり、ブラベー格子ベクトル $R$ を持っていたとすると、
これは、
<tex>
\bm{R} \cdot (\bm{k}+\bm{k}^\prime) = 2m \pi \tag{##}
</tex>
となります。これは、逆格子ベクトル $\bm{K}$ の定義、
<tex>
\bm{R} \cdot \bm{K} = 2m \pi \tag{##}
</tex>
と比較すれば、
<tex>
\bm{k}+\bm{k}^\prime = \bm{K} \tag{##}
</tex>
の時、光は強め合うことが分かります。これをラウエの条件と言います。
構造因子（体心立方格子の場合）
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今度は、基本単位格子が単純立方晶であり、その単位格子内にいくつかの原子が入っている時を考えます。
つまり、体心立方格子なら格子の長さ $a$ （格子定数と言います）として、 $\bm{d}=(0,0,0),\bm{d} = (a/2,a/2,a/2)$ の
二原子、面心立方格子なら $\bm{d}=(0,0,0),\bm{d} = (0,a/2,a/2),\bm{d} = (a/2,0,a/2),\bm{d} = (a/2,a/2,0)$ の四原子、
ダイヤモンド格子なら、同様に八原子があると考えるのです。この基本単位格子に光が当たる時を考えます。
その時の干渉強度は、前節の二原子の時と同様に考え、冒頭で言ったように、
<tex>
S_k = \sum_{j=1}^n e^{i\bm{K} \cdot \bm{d_j}} \tag{##}
</tex>
となります。具体的に体心立方格子の時を考えると、 $\bm{d}=(0,0,0),\bm{d} = (a/2,a/2,a/2)$ の
二原子について、 $S_k$ は、 $x,y,z$ 方向の単位ベクトルを $\hat{\bm{x}},\hat{\bm{y}},\hat{\bm{z}}$ として、
<tex>
S_k &= e^{i \bm{K} \cdot \bm{0}} + e^{i \bm{K} \cdot \dfrac{a}{2} (\hat{\bm{x}}+\hat{\bm{y}}+\hat{\bm{z}})} \\
&= 1 + e^{i \bm{K} \cdot \dfrac{a}{2} (\hat{\bm{x}}+\hat{\bm{y}}+\hat{\bm{z}})} \tag{##}
</tex>
となり、基本単位格子は立方晶でしたから、 $n_1,n_2,n_3$ を任意の整数として、
逆格子ベクトル $\bm{K}=\dfrac{2\pi}{a}(\hat{\bm{x}}+\hat{\bm{y}}+\hat{\bm{z}})$ と書けます。
よって、構造因子は、
<tex>
S_k &= 1 + e^{i \pi (n_1 \hat{\bm{x}}+n_2 \hat{\bm{y}}+n_3 \hat{\bm{z}})} \\
&= 1 + (-1)^{n_1+n_2+n_3} \\
&= 2 \ \ or \ \ 0 \tag{##}
</tex>
となり、 $n_1+n_2+n_3$ が偶数なら強め合い、奇数なら打ち消しあいます。
これは逆格子ベクトル $\bm{K}$ が面心立方格子の時に相当します。
Ｘ線回折とは、結晶の逆格子を見ることに相当します。
そう、体心立方格子の逆格子は面心立方格子なのです。
構造因子（低対称な格子の場合）
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構造因子が複素数となるのは、構造の対称性がある程度崩れていなければ出てきません。
例えば、 $\bm{d} = (0,0,0),\bm{d} = (a/4,0,0)$ が基本構造の単純立方格子だったら複素数になります。
計算してみると、この単純立方格子の逆格子ベクトルは $\bm{K}=\dfrac{2 \pi}{a}(n_1 \hat{\bm{x}}+n_2 \hat{\bm{y}}+n_3 \hat{\bm{z}})$ ですから、構造因子は、
<tex>
S_k &= 1 + e^{i \pi/2 n_1} \\
&= 1 + i^{n_1} \tag{##}
</tex>
となります。これはつまり、逆格子ベクトル $\bm{K}$ （もっと正確に言えば $\bm{k}+\bm{k}^\prime$ ）を $\bm{K}=\dfrac{2 \pi}{a}(\hat{\bm{x}})$ に
選ぶと、 $(100)$ 反射となり出てくる光は、
<tex>
e^{i \bm{K} \cdot \bm{0} } &= e^{i 2 \pi/a \times 0} \\
&= 1 \tag{##}
</tex>
のものと
<tex>
e^{i \bm{K} \cdot (a/4)\hat{\bm{x}} } &= e^{i (\pi/2)} \\
&= i \tag{##}
</tex>
つまり、出射光は位相が変わらないもの（式 $()$ ）
つまり、出射光は位相が変わらないもの（式 $(11)$ ）、 $\pi/2$ だけずれるもの（式 $(12)$ ）の二つがあるということです。例えば、原点の散乱体について出射光が $ \cos(\omega t) $で原点に出射するとすると、
もう一つの散乱体の出射光は $ \cos ( \omega t + \pi/2) = \sin (\omega t) $ で出射するということです。
つまり、散乱強度 $I$ は
<tex>
I &= \left( \cos ( \omega t) + \sin (\omega t) \right)^2 \\
&= (\sqrt{1^2+1^2} \cos (\omega t + \pi/4))^2 \\
&= 2 \cos^2 (\omega t +\pi/4) \tag{##}
</tex>
となり、相対強度 $I = |S_k|^2$ = (1+i)(1-i) =2$ で出てくることが分かります。
複素関数で書くなら、
<tex>
I &= |(1+i)\exp (i \omega t )|^2 \\
&= (1+i)(1-i) = 2 \tag{##}
</tex>
と分かります。ちなみに、今回は $1+i$ でしたが、 $1-i$ も同じことです。
だって、注目点を原点からもう一つに移せば、今度は、 $\bm{d}=(0,0,0),\bm{d}= (-a/4,0,0)$ となるでしょう？
最後に構造因子が一般形の時の散乱強度を書いて終わりましょう。
<tex>
I &= |S_k|^2 \\
&= |(a+bi)\exp(i \omega t)|^2 \\
&= a^2+b^2 \tag{##}
</tex>
今日はこの辺で、お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-12-24@@
@@category:固体物理学
@@category:固体物理学@@
@@id:kouzouInshi@@
記事ソース/Ｘ線散乱における構造因子はなぜ複素数なのか？ のバックアップ差分(No.2)
