- 追加された行はこの色です。
- 削除された行はこの色です。
#rst2hooktail_source
============================================================
オイラー方程式
============================================================
剛体の回転シーリズ第７弾です。前の記事は 加速度座標系と慣性力_ です。
次の記事は テニスラケットの定理_ です。
オイラー方程式
==========================
オイラー方程式を導きます。
角速度 $\bm{\omega}$ で回転する座標から見た角運動量は
ベクトルですので、 加速度座標系と慣性力_ で
導いた式 $(1)$ を適用できます。
つまり、任意のベクトル $\bm{A}$ に成り立つ式
<tex>
\frac{d \bm{A}}{dt}=\frac{\delta \bm{A}}{\delta t}
+ \bm{\omega} \times \bm{A} \tag{##}
</tex>
で、 [*]_ $\bm{A}$ に角運動量ベクトル $\bm{L}$ を代入してやって、
.. [*] $\frac{\delta \bm{A}}{\delta t}$ とは、回転座標系からみた見かけの変化ベクトルでした。
<tex>
\frac{d \bm{L} }{dt} = \frac{\delta \bm{L}}{\delta t}
+ \bm{\omega} \times \bm{L} \tag{##}
</tex>
ここで、 慣性モーメント_ で書いた
慣性主軸を座標系として採用すると、
<tex>
\bm{L}
&= I_I \bm{\omega} \\
&= \begin{pmatrix}
I_1 & 0 & 0 \\
0 & I_2 & 0 \\
0 & 0 & I_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega_1 \\
\omega_2 \\
\omega_3
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
よって、
<tex>
\begin{pmatrix}
L_1 \\
L_2 \\
L_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
I_1 \omega_1 \\
I_2 \omega_2 \\
I_3 \omega_3
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ここで、 角運動量_ の式 $(3)$ を思い出しますと 、
<tex>
\bm{N} &= \frac{d \bm{L}}{dt} \\
&=
\frac{\delta \bm{L}}{\delta t} + \bm{\omega} \times \bm{L} \\
&=
\begin{pmatrix}
I_1 \frac{\delta \omega_1}{\delta t} \\
I_2 \frac{\delta \omega_2}{\delta t} \\
I_3 \frac{\delta \omega_3}{\delta t}
\end{pmatrix}
+
\bm{\omega} \times \bm{I_I \bm{\omega}} \\
&=
\begin{pmatrix}
I_1 \dot{\omega}_1 \\
I_2 \dot{\omega}_2 \\
I_3 \dot{\omega}_3
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\omega_2 I_3 \omega_3 - \omega_3 I_2 \omega_2 \\
\omega_3 I_1 \omega_1 - \omega_1 I_3 \omega_3 \\
\omega_1 I_2 \omega_2 - \omega_2 I_1 \omega_1
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
I_1 \dot{\omega}_1 + (I_3 - I_2) \omega_3 \omega_2 \\
I_2 \dot{\omega}_2 + (I_1 - I_3) \omega_1 \omega_3 \\
I_3 \dot{\omega}_3 + (I_2 - I_1) \omega_2 \omega_1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
となります [*]_ 。
.. [*] ここで、 加速度座標系と慣性力_ の式 $(4)$ の次にくる式、 $\frac{d \bm{\omega}}{dt}=\frac{\delta \bm{\omega}}{\delta t}=\dot{\bm{\omega}} $ を用いました。
長くなったのでこの式をもう一度書きなおすと、
<tex>
\begin{pmatrix}
N_1 \\
N_2 \\
N_3
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
I_1 \dot{\omega}_1 + (I_3 - I_2) \omega_3 \omega_2 \\
I_2 \dot{\omega}_2 + (I_1 - I_3) \omega_1 \omega_3 \\
I_3 \dot{\omega}_3 + (I_2 - I_1) \omega_2 \omega_1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
となります。この式 $(6)$ をオイラー方程式と呼びます。
次回は、このオイラー方程式を用いて、
テニス・ラケットの定理と言うものを導きます。
@@reference: V.D.バーガー・M.G.オルソン,力学 ‐新しい視点に立って‐,培風館,1975,p192,4563021318@@
続きは こちら_
.. _加速度座標系と慣性力: http://hooktail.sakura.ne.jp/mechanics/acCoordinates/
.. _テニスラケットの定理: http://hooktail.sakura.ne.jp/mechanics/tennisRacket/
.. _こちら: http://http://hooktail.sakura.ne.jp/mechanics/tennisRacket/
.. _慣性モーメント: http://hooktail.sakura.ne.jp/mechanics/momentOfInertia/
@@author:クロメル@@
@@accept:2009-10-03@@
@@category:力学@@
記事ソース/ オイラー方程式 のバックアップの現在との差分(No.1)
