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ベクトル解析奮闘記1
ベクトル解析奮闘記2
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はじめに
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講義などで初めてベクトル解析を習った時、“難しい”、“わけわからん”と思った経験がありませんか？実は私もその一人です。いまだに詳しくはわかりませんが、これまで私が悩んだ過程をここにご紹介して、もしご参考になればと思います。
大学に入ると”ベクトル解析”を習うのですが、高校でやる”ベクトル”よりも
ちょっと手ごわそうです。黒板に先生が書いた式も、難しそうだし・・・。
もしよろしかったら私と一緒にベクトル解析の基本、やってみませんか。
初講義前日
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ベクトル解析って、ベクトルを使って問題解いたりするのでしょうか？ベクトルなら高校の数学で習ったし、要するに大きさと、方向（向き）を持つ概念ですよね？矢印作図して足し算したり、引き算したり、大きさを実数倍したり、特に始点を原点
<tex>
(0,0)
</tex>
にすれば終点の座標 $(x,y)$ でベクトルを表せちゃいます。作図しなくても、そういう風に成分表示すれば足し算、引き算も簡単です。内積だってわかります。成分で書くと $(a,b)\cdot(c,d)=ac+bd$ とすればいいのです。簡単、なはずです。
たいした事ないですよ、きっと。実は明日ベクトル解析の初講義なんですが、予習なんてしないで寝ちゃおっと・・・。
（続き物なので ベクトル解析奮闘記1_ からお読みいただくと嬉しいです！）
翌日初講義終了。ところが！
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わー、なんなんだこれは！
わからん、全くわからん！だいたい三角関数の ${\rm sin,cos}$ じゃあるまいし、なんで
ベクトルやるのに３，４文字英単語（ ${\rm grad}$ （グラジエント）、 ${\rm div}$ （ダイバージェンス）、 ${\rm rot}$ （ローテーション））や、おまけに偏微分記号まで出てくるんでしょう！もちろん ${\rm sin,cos}$ は私でもわかります、直角三角形の辺の比ですよね？（絵を書いてみればすぐわかります。）偏微分だって、他の変数（例えば $x$ で微分する場合、それ以外の $y,z$ など）を定数と見て、微分する事でしょ？それも知ってるんだがなあ。いずれにせよこれは家に帰ってよく復習しないと。電磁気学はこれ使うって言うし・・・。
.. _ベクトル解析奮闘記1: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/vecFuntou1/
自宅で復習（gradの巻）
自宅で復習（divの巻）
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ここであきらめたり、あせってもしょうがないのでまずゆっくり順番に考えてみました。
" ${\rm grad}$ "はえーっと" ${\rm gradient}$ （傾き）"の略ですか・・・。たしか先生が黒板に書いた式は
えーっと、 ${\rm div}$ か・・・。読みは”ダイバージェンス”（divergence=放射状に広がること）。
先生が黒板に書いた式は $\vec{A}$ をベクトル関数とすると
<tex>\vec{A}=(A_x,A_y,A_z)</tex>と書けて、
<tex>{\rm div}\vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}</tex>
ですか・・・。偏微分記号 $\partial$ は少し見慣れてきました。今度は ${\rm grad}$ と逆に、ベクトルからスカラーを作っていますね。
ベクトル関数
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まずベクトル関数というものですが、空間の一点で決まるベクトル、つまり、空中に矢印がいっぱい浮かんでいて（下図参照）、一点（例えば点 $P$ ）を指定すると長さと方向（向き）を指定した矢印が一つだけ決まる（ベクトルがたったひとつ決まる）という事のようですね。その時、ベクトルの始点はどことは決まっていないのですが、点 $P$ をずばり始点に考えるとわかりやすいかもしれません。
.. image:: yakan-vec2-fig6.png
３次元ベクトルなので $x$ 軸、 $y$ 軸、 $z$ 軸方向の成分が３つあるというわけですか・・・。ここで紛らわしいのは、それぞれの各成分（ $A_x$ など） が、一点 $(x,y,z)$ の値で決まる、つまり $x$ , $y$ , $z$ ３つで決まるという事ですね（ $A_x$ が $x$ １個だけで決まるわけではない、と）。 $A_x$ , $A_y$ , $A_z$ それぞれは別個のスカラー関数だから、替わりに $F$ , $G$ , $H$ と書くと、
<tex>\vec{A}=(F,G,H)</tex>
の方が誤解が少ないかな（同じか・・・）。
量が湧き出す小箱？
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さて、先生が黒板に書いた図によるご説明では、”直方体のような図形を通過するときにどのくらい数値が増加するかを考える”とおっしゃっていましたっけ。”要するに湧き出し口ですよ！”とも言われていましたが、そこの地点を境に量（値）が増える、という意味でしょうか。
辺の長さがそれぞれ h ， i ， j の直方体を例に考えてみましょう（本や講義では、 $\Delta x,\Delta y,\Delta z$ を使っています）（下図参照）。
.. image:: yakan-vec2-fig1.png
もう一度自分の使い慣れた記号を使って書いてみます。直方体への， ある面 $A$ からの単位面積あたりの流入量（例えば温泉のお湯とか）を $F(x)$ とします。面 $A$ と平行な面 $B$ までの距離を $h$ ，長さ $h$ の辺に平行に $x$ 軸，同様に $i$ の辺に平行に $y$ 軸， $j$ の辺に平行に $z$ 軸をとると，
面 $B$ からの単位面積あたりの流出量は $F(x+h)$ となります（下図参照）。
.. image:: yakan-vec2-fig2.png
それぞれの面の面積は $ij$ だから、直方体を通る事による正味増加量は、それぞれ面積をかけて引き算すると、
<tex>
{\rm grad}f=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})
</tex>
だったなー。
う〜ん、 ${\rm grad}$ ももちろん、 $\partial$ がいかにも難しそう・・・。でも冷静に見ると、これは値が三つ組みになってるから、スカラー（ベクトルのように方向を持たないただの数値）関数 $f$ から３次元のベクトルを一つ作ったようですね（どんなベクトルかはまだわかりませんが）。とりあえず、わかりやすくするために $z$ を省いて２次元で考えると
&ijF(x+h)-ijF(x)
\\
\\
&=ij\{F(x+h)-F(x) \}
\\
\\
&=hij\frac{F(x+h)-F(x)}{h}</tex>
良く見ると最後の式の $hij$ は直方体の体積、その右は $h$ を $0$ に近づけた時、 $F(x)$ の導関数（微分して得られる関数）の定義式になっているから
$hij$ を体積 $V$ 、 $F$ は $x,y,z$ 3変数の関数だけど、 $h$ を $0$ に近づけた場合（ $h$ を非常に短い辺と考えて）、 $x$ に対してだけの微分（偏微分）になるから $\partial$ を使って、右辺は
<tex>V\frac{\partial F}{\partial x}</tex>
と書けますね。
実際にはあと対向する二組の面があるから、同様に（ $x$ と同様に $y$ の場合、 $z$ の場合をそれぞれ考えて）
$y$ の場合（以下に図と式）
.. image:: yakan-vec2-fig4.png
<tex>
{\rm grad} f=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})
</tex>
あれっ、こうやってみると、 $x$ の変化に対する $f$ の変化率と、 $y$ の変化に対する $f$ の変化率を $x,y$ 成分に持つベクトルのようですね。例えば $f$ を具体的に考えると
<tex>
f=3x+4y
</tex>
なら
<tex>
\frac{\partial f}{\partial x}=3
</tex>
（ $4y$ は定数扱いで $0$ になる）
<tex>
\frac{\partial f}{\partial y}=4
</tex>
（ $3x$ は定数扱いで $0$ になる）だから
<tex>
{\rm grad}f=(3,4)
</tex>
となるわけですか・・・。
一体このベクトルは何者でしょうか？
今の場合、変数 $(x,y)$ の変化に対する $f$ の変化率を表記する時に、 $x$ 方向に対する変化率は $3$ 、 $y$ 方向に対する変化率は $4$ 、ということなのですが、どちらか $0$ なら、片方だけ（数値１個）で表されるのでしょうけど、実際はそうとは限らないし、 $x$ 方向と $y$ 方向じゃ違う方向の大きさですから、 $3+4=7$ と足し算するわけにもいきません。もし $(1,100)$ なら、ほとんど $y$ 方向と考えていいけど、 $x$ 方向も完全に無視はできないし、それぞれの方向の大きさに応じた合成方向・・・というわけですか。この数値の場合と、一般的な場合をグラフに書くと以下のようになりますね。
&hjG(y+i)-hjG(y)
\\
\\
&=hj\{G(y+i)-G(y) \}
\\
\\
&=hij\frac{G(y+i)-G(y)}{i}</tex>
同様に $i$ を $0$ に近づけた極限を考えて、
<tex>V\frac{\partial G}{\partial y}</tex>
.. image:: yakan-grad-fig1.png
.. image:: yakan-grad-fig2.png
なるほど、それで $x$ 方向と $y$ 方向の変化率をそれぞれ $x$ 方向と $y$ 方向の成分としたベクトル
$z$ の場合（以下に図と式）
.. image:: yakan-vec2-fig5.png
<tex>
{\rm grad} f=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})
</tex>
を考えれば、まとめて表記できるわけですね。 $x$ 方向の変化率を
&hiH(z+j)-hiH(z)
\\
\\
&=hi\{H(z+j)-H(z) \}
\\
\\
&=hij\frac{H(z+j)-H(z)}{j}</tex>
同様に $j$ を $0$ に近づけた極限を考えて、
<tex>V\frac{\partial H}{\partial z}</tex>
となります。
結局、３方向への増加分合計は、
<tex>V\frac{\partial F}{\partial x}+V\frac{\partial G}{\partial y}+V\frac{\partial H}{\partial z}=V \left( \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial G}{\partial y}+\frac{\partial H}{\partial z} \right)</tex>
となるわけですね。右辺に体積 $V$ が掛け算されて総増加分になるという事は、その右側の偏微分が一杯あるカッコ内は、”単位体積あたりの増加分”に相当する、という事になりそうです。要するに長方形の各辺に対する変化率の極限をとり、３方向の和を考えると、数式上、掛け合わされた辺が体積を表すことになり、残りが丁度偏微分の和で表されるという事のようですね。
なるほどこれイコール ${\rm div}\vec{A}$ （ベクトル $A$ のダイバージェンス）ということですか。 $\vec{A}$ は成分が３つあるからベクトル（関数）というわけですが、単に、 $x$ 方向、 $y$ 方向、 $z$ 方向の値をそれぞれ個別に決める３つの関数の列記に過ぎない、と考えても間違いではないかもしれません。
数字を入れるとわかりやすいかも
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例えば
<tex>F=x+2y+3z</tex>
<tex>G=4x+5y+6z</tex>
<tex>H=7x+8y+9z</tex>
とすると、
<tex>
(\frac{\partial f}{\partial x},0)
</tex>
$y$ 方向の変化率を
<tex>
(0,\frac{\partial f}{\partial y})
</tex>
と、それぞれ自体ベクトルと考えると、
<tex>
(\frac{\partial f}{\partial x},0)+(0,\frac{\partial f}{\partial y} )=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})={\rm grad} f
</tex>
ですから、 ${\rm grad} f$ は $x$ の変化率と $y$ の変化率を方向も含めて合成した、一番変化率の高い（坂で言えば勾配のきつい）方向を向いてるベクトルなんですね。だから ${\rm grad}$ （勾配）というのか・・・。ふー、やっとわかった気がします。（ $z$ を増やして３次元で考えても同じ事ですね）
&{\rm div} \vec{A}(F,G,H)
\\
\\
&=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial G}{\partial y}+\frac{\partial H}{\partial z}
\\
\\
&=\frac{\partial (x+2y+3z)}{\partial x}+\frac{\partial (4x+5y+6z)}{\partial y}+\frac{\partial (7x+8y+9z)}{\partial z}
\\
\\
&=1+5+9
\\
\\
&=15</tex>
となるわけですね。う〜ん、わかったと言えばわかったような・・・。
勾配がきつい方向ということは、矢印を逆にすれば、ボールが転がり落ちてくる方向になります（下図）。
果たして何の役に？
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ところでこの ${\rm div}$ の概念、一体どうゆう場面で使うのでしょうか？
先生がおっしゃるには上にも書いたように温泉の湧き出し口のようなもので（水中の一点から本当に温泉が湧いてきたら怖いですけど・・・）、小さい放射性物質から四方八方に広がる放射線、電磁気学では点電荷から周りに出る電気力線、などらしいです。教科書を見ると、 $\vec{D}$ を電束密度ベクトル、 $\rho$ を電荷密度とした時に
.. image:: yakan-grad-fig3.png
<tex>{\rm div} \vec{D}= \rho</tex>
という風に使うみたいですね。
電荷があると、電束が湧き出す・・・（とたんに難しそうに見えるから不思議です）。
（続き物なので ベクトル解析奮闘記2_ , ベクトル解析奮闘記3_ もお読みいただくと嬉しいです！）
（続き物なので ベクトル解析奮闘記1_ , ベクトル解析奮闘記3_ もお読みいただくと嬉しいです！）
.. _ベクトル解析奮闘記2: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/vecFuntou2/
.. _ベクトル解析奮闘記1: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/vecFuntou1/
.. _ベクトル解析奮闘記3: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/vecFuntou3/
@@author:やかん@@
@@information:イラスト:崎間@@
@@accept:2005-09-21@@
@@accept:2005-10-12@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: vecFuntou1@@
@@id: vecFuntou2@@
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