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ベクトル解析奮闘記3
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大学に入ると”ベクトル解析”を習うのですが、高校でやる”ベクトル”よりも
ちょっと手ごわそうです。黒板に先生が書いた式も、難しそうだし・・・。
もしよろしかったら私と一緒にベクトル解析の基本、やってみませんか。
（続き物なので ベクトル解析奮闘記1_ からお読みいただくと嬉しいです！）
.. _ベクトル解析奮闘記1: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/vecFuntou1/
自宅で復習（rotの巻）
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いよいよ最後、 ${\rm rot}$ 。読みは”ローテーション”（ $rotation=$ 回転）。
先生が黒板に書いた式は・・・、う〜ん、
これは $\partial$ ばっかりで、 ${\rm grad}$ よりも ${\rm div}$ よりも、一層難しそうな顔をしている・・・。眺めていてもわからないので、先生が言われた”渦（うず）の事ですよ！”をヒントに、考えてみる事にしました。
小川の流れをヒントに
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北から南に流れている小川があったとして、私が橋の上から南（下流）を見ていたとしましょう（下図参照）。
.. image:: yakan-vec3-fig1.png
普通のイメージでは、さらさらと渦など作らずに、東の岸付近の水も、西の岸付近の水も、平行に流れて行きますよね（もうすでに頭の中で渦が巻いている方もいらっしゃるでしょうか・・・）。さて平行なはずの水流が、一体どうなれば渦を巻くのでしょう？まず東から西の方向・向きを $x$ 軸、 北から南（水流と平行）に行く方向・向きを $y$ 軸とします。もし東から西に行くほど（ $x$ 軸を正に行けば行くほど） 小川の流れが速いとすると、なんだか反時計回りに回り込んで、渦を巻きそうです。これは $x$ の増加に対応する $y$ 方向速度成分（ $y$ 方向の矢印の長さ。速度を長さで表しているだけで、長さの分、南に動くとは限らないし、もちろん $y$ の値ではない。）の変化率が正という事です。水流の速度を表すベクトル関数を
<tex>
\vec{A}=(F,G)
</tex>
とすると、 $y$ 方向成分は、スカラー関数 $G$ で表されるから、
<tex>
\frac{\partial G}{\partial x}
</tex>
が正で、なおかつこの値が大きければ大きいほど渦は強そうですね（下図参照）。
.. image:: yakan-vec3-fig2.png
でもそれだけでいいんでしょうか？
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まてよ、もしかしたら、下流の方が上流より、東から西方向（小川の流れに直交する方向）への速度があるかもしれません。もしそうなら、さっきとは丁度逆に、時計回りの渦を作りそうです。これは、”下流に行く（ $y$ が増加する） ”ほど、”東西方向の流れが速くなる（ $F$ が増加する）”わけですから、同様に数式で表すと
<tex>
\frac{\partial F}{\partial y}
</tex>
となります（下図参照）。
.. image:: yakan-vec3-fig3.png
従って、反時計回り方向の渦は、それを差し引いた分、
<tex>\frac{\partial G}{\partial x}-\frac{\partial F}{\partial y}</tex>
が正で、値が大きければ大きいほど、強くおこりそうです。
渦の方向・向き
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ところでこの渦、どの方向に向いていると表現したらいいのでしょうか？ $x$ 軸方向？それとも $y$ 軸方向でしょうか？
でも、見る間にぐるぐる回っているので、いずれの方向で表すのも難しそうです。むしろ渦の真中に、水面と垂直に棒を立てて目印とし、”棒を軸とした周りの渦である”とした方がわかりやすそうですね。渦の強さは棒の長さで表せば、遠目に見ても一目瞭然です（下図参照）。
.. image:: yakan-vec3-fig4.png
$x$ , $y$ と来たので、棒の方向は $z$ 軸になります。つまり $z$ 軸方向の渦（これ以降、回転）はさきほどの式
<tex>
\frac{\partial G}{\partial x}-\frac{\partial F}{\partial y}
</tex>
と考えられます。ここで小川のイメージから離れますが、ベクトル関数を２次元（平面）から３次元（空間）に拡張して $\vec{A}=(F,G,H)$ と置き、 $x$ 軸方向の回転についても、順に変数を入れ替えて、
<tex>
\frac{\partial H}{\partial y}-\frac{\partial G}{\partial z}
</tex>
$y$ 軸方向の回転についても、順に変数を入れ替えて、
<tex>
\frac{\partial F}{\partial z}-\frac{\partial H}{\partial x}
</tex>
とできます。これらはそれぞれ方向の違う量なので、単純に足し算はできず、それぞれ回転の $x$ 方向成分、 $y$ 方向成分、 $z$ 方向成分として下記のように列記するしかありません。
<tex>
\left(\frac{\partial H}{\partial y}-\frac{\partial G}{\partial z},\frac{\partial F}{\partial z}-\frac{\partial H}{\partial x},\frac{\partial G}{\partial x}-\frac{\partial F}{\partial y}\right)
</tex>
これはスカラー関数の三つ組みとも言えますが、それぞれを $x,y,z$ 成分に持つ、３次元ベクトルとも考えられますね。このベクトルの事を $\vec{A}$ の回転（またはローテーション）、記号では、 ${\rm rot}\vec{A}$ と呼ぶようです。つまり回転軸は、より回転の強い軸方向に近く向いているわけです。なお普通は、 $\vec{A}=(A_x,A_y,A_z)$ という風に表記するので
<tex>
{\rm rot}\vec{A}=\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z},\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x},\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)
</tex>
という形になります（目が回りそう・・・）。
一体、何の役に？
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さて、この”回転”、何に使うのでしょうか？ベクトル解析全体が、電磁気学っぽいですが、棒の周りの”回転”というと、例えば、電線に電流を流した際に、周りにできる磁界ベクトルなどを表すのに使えるそうです。磁界ベクトルを $\vec{H}$ 、 電流密度ベクトルを $\vec{i}$ とすると、
<tex>
{\rm rot}\vec{H}=\vec{i}
</tex>
となる・・・、そうですよ。
みなさん、これからもベクトル解析、電磁気学頑張って下さいね。応援してます！(^-^)
（私も頑張ります(>_<)）
（続き物なので ベクトル解析奮闘記1_ , ベクトル解析奮闘記2_ もお読みいただくと嬉しいです！）
.. _ベクトル解析奮闘記1: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/vecFuntou1/
.. _ベクトル解析奮闘記2: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/vecFuntou2/
@@reference:水本久夫,ベクトル解析の基礎,培風館,2001, ,4781908764@@
@@reference:一石 賢,道具としての物理数学,日本実業出版社,2002, ,4534034903@@
@@reference:谷口雅彦,なっとくするベクトル解析,講談社,2004, ,4061545515@@
@@author:やかん@@
@@information:イラスト:崎間@@
@@accept:2005-10-27@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: vecFuntou3@@
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