物理のかぎしっぽ FrontPage のバックアップソース(No.7)
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剛体のオイラー角でのハミルトニアンを解く
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剛体の回転シリーズ番外編3です。
せっかく番外編2で剛体のハミルトニアンを求めたので、
剛体のハミルトニアンを解いてトルクのかからない
剛体の運動方程式を導いてみました。


復習
===================

まず、ハミルトニアンを確認します。
剛体のハミルトニアンを次のようなものでした。

<tex>
H &=\frac{1}{2 I_x \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}^2 \\
&+ \frac{1}{2 I_y \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \}^2 \\
&+ \frac{p_\psi^2}{2 I_z} \tag{##}
</tex>

パラメータ $\lambda$ に対して、

<tex>
\dot{\lambda} = \frac{\partial H}{\partial p_\lambda} \tag{##}
</tex>

<tex>
\dot{p}_\lambda = - \frac{\partial H}{\partial \lambda} \tag{##}
</tex>

です。

ハミルトニアンの運動量での微分
=================================

それでは、さっそく式 $(2)$ を求めてみましょう。

<tex>
\dot{\phi} &= \frac{\partial H}{\partial p_\phi} \\
&= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \cos \psi \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \\
&+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \sin \psi \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \} 
\tag{##}
</tex>

ここで、次のように $\alpha , \beta , \gamma$ を定義します。

<tex>
\alpha = \frac{\cos^2 \psi}{I_x}+\frac{\sin^2 \psi}{I_y} \tag{##}
</tex>

<tex>
\beta = \frac{1}{I_y}-\frac{1}{I_x} \tag{##}
</tex>

<tex>
\gamma = \frac{\sin^2 \psi}{I_x}+ \frac{\cos^2 \psi}{I_y} \tag{##}
</tex>

すると、式 $(4)$ は、次のようになります。

<tex>
\dot{\phi} &= \frac{1}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\phi +\frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta}\beta\  p_\theta - \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\phi \tag{##}
</tex>

同様に、 $\dot{\theta}, \dot{\psi}$ についても、

<tex>
\dot{\theta} 
&= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \times (- \sin \theta \sin \psi) \\
&+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \times (  \sin \theta \cos \psi) \\
&= \frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta} \beta p_\phi + \gamma p_\theta - \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta p_\psi \tag{##}
</tex>

<tex>
\dot{\psi} 
&= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}\times (- \cos \psi \cos \theta ) \\
&+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \sin \psi + \sin \theta \sin \psi p_\theta \}\times (- \sin \psi \cos \theta ) \\
&+ \frac{p_\psi}{I_z} \\
&= \frac{- \cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \  p_\phi - \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta}\beta \  p_\theta + (\frac{1}{I_z} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \alpha ) p_\psi \tag{##}
</tex>

これらを行列で表示すると、

<tex>
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} &
\dot{\theta} &
\dot{\psi}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sin^2 \theta}\alpha & \dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta} \beta & -\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \\ 
\dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta}\beta & \gamma & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta \\
-\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta & \dfrac{1}{I_z} + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\alpha 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p_\phi \\
p_\theta \\
p_\psi 
\end{pmatrix} \\
&\equiv 
V
\begin{pmatrix}
p_\phi \\
p_\theta \\
p_\psi 
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

となります。行列部分を、 $V$ で定義しました。

ハミルトニアンの位置座標での微分
=================================


次は、式 $(3)$ を計算していきます。
まずは $\dot{p}_\phi$ を求める作業から、これはハミルトニアンが $\phi$ を含まないので簡単ですね。

<tex>
\dot{p}_\phi = -\frac{\partial H}{\partial \phi} = 0 \tag{##}
</tex>

次に、 $\dot{p}_\theta$ を求めます。これは、すこし面倒です。

<tex>
\dot{p}_\theta &= - \frac{\partial H}{\partial \theta} \\
&= \frac{\cos \theta}{I_x \sin^3 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}^2 \\
&- \frac{1}{I_x \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}
(\cos \psi \sin \theta p_\psi - \cos \theta \sin \psi p_\theta) \\
&+ \frac{\cos \theta}{I_y \sin^3 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \}^2 \\
&- \frac{1}{I_y \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \} 
(\sin \psi \sin \theta p_\psi + \cos \theta \cos \psi p_\theta) \\
&= \frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta}\alpha \  p_\phi^2 \\
&+ \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin^2 \theta}\beta \  p_\phi p_\theta \\
&- \frac{1 + \cos^2 \theta}{\sin^3 \theta} \alpha \  p_\phi p_\psi \\
&+ 0 \times p_\theta^2 \\
&- \frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \  p_\theta p_\psi \\
&+ \frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta} \alpha \  p_\psi^2 \tag{##}
</tex>

式 $(12)$ を二次形式の行列を使って表すと、

<tex>
\dot{p}_\theta &= \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 
\dfrac{\cos \theta}{\sin^3 \theta}\alpha & \dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{2\sin^2 \theta}\beta & -\dfrac{1 + \cos^2 \theta}{2\sin^3 \theta}\alpha \\
\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{2\sin^2 \theta}\beta & 0 & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi}{2\sin^2 \theta} \beta  \\
-\dfrac{1 + \cos^2 \theta}{2\sin^3 \theta}\alpha & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi}{2\sin^2 \theta} \beta p_\theta & \dfrac{\cos \theta}{\sin^3 \theta} \alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p_\phi \\
p_\theta \\
p_\psi 
\end{pmatrix} \\
&\equiv 
\begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}
\Theta 
\begin{pmatrix} 
p_\phi \\
p_\theta \\
p_\psi 
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

上の式の最後で、行列部分を $\Theta$ を使って定義しました。

同様に、 $\dot{p}_\psi$ を求めると、

<tex>
\dot{p}_\psi &= -\frac{\partial H}{\partial \psi} \\
&= \frac{-1}{I_x \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \{ -(p_\phi - \cos \theta p_\psi) \sin \psi - \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \\
&+ \frac{-1}{i_y \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \\
&= -\frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \ p_\phi^2
+ \frac{- \cos^2 \psi+ \sin^2 \psi}{\sin \theta} \beta \  p_\phi p_\theta \\
&+ \frac{2 \cos \theta \sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \  p_\phi p_\psi
+ \sin \psi \cos \psi \beta \  p_\theta^2 \\
&+ \frac{\cos \theta}{\sin \theta}( \cos^2 \psi - \sin^2 \psi )\beta \ p_\theta p_\psi 
- \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\sin \psi \cos \psi \beta \  p_\psi^2 \\
&=
\begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -\dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta & \dfrac{\alpha - \gamma}{2 \sin \theta} & \dfrac{\cos \theta \sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta}\beta \\
\dfrac{\alpha - \gamma}{2 \sin \theta} & \sin \psi \cos \psi \beta & \dfrac{\cos \theta (\gamma - \alpha)}{2 \sin \theta} \\
\dfrac{\cos \theta \sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta}\beta & \dfrac{\cos \theta (\gamma - \alpha)}{2 \sin \theta} & 
-\dfrac{\cos^2 \theta \sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta
 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 
p_\phi \\
p_\theta \\
p_\psi 
\end{pmatrix} \\
&\equiv
\begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}
\Psi 
\begin{pmatrix} 
p_\phi \\
p_\theta \\
p_\psi 
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

となります。ちなみに、

<tex>
(\cos^2 \psi - \sin^2 \psi)\beta = \gamma - \alpha \tag{##}
</tex>

です。

大まかな流れ
===================

さて、これからの大まかな流れを書いていきます。まず、式 $(11)$ を逆に解きます。つまり、

<tex>
\begin{pmatrix}
p_\phi \\
p_\theta \\
p_\psi
\end{pmatrix} 
= V^{-1} 
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

を計算します。

次にこれを使って式 $(14)$ と式 $(15)$ から、 $p_\lambda$ を消去します。
さらに、式 $(17)$ を $t$ で微分して、

<tex>
\begin{pmatrix}
\dot{p}_\phi \\
\dot{p}_\theta \\
\dot{p}_\psi
\end{pmatrix} 
= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V^{-1}) 
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{pmatrix} 
+ V^{-1}
\begin{pmatrix}
\ddot{\phi} \\
\ddot{\theta} \\
\ddot{\psi}
\end{pmatrix} 
\tag{##}
</tex>

最後に、これを 

<tex>
\begin{pmatrix}
\ddot{\phi} \\
\ddot{\theta} \\
\ddot{\psi}
\end{pmatrix} 
</tex>

について解けば、
運動方程式が完成します。つまり、

<tex>
\begin{pmatrix}
\ddot{\phi} \\
\ddot{\theta} \\
\ddot{\psi}
\end{pmatrix}
=V\begin{pmatrix}
\dot{p}_\phi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\
\dot{p}_\theta(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\
\dot{p}_\psi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi})
\end{pmatrix}
-V\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V^{-1})
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

ここで、式 $(12)$ , $(14)$ , $(15)$ を使って、 $\dot{p}_\lambda$ を消去したことを強調して置きます。
ちなみに、式 $(11)$ の両辺を $t$ で微分して、

<tex>
\begin{pmatrix}
\ddot{\phi} \\
\ddot{\theta} \\
\ddot{\psi}
\end{pmatrix}
=
V\begin{pmatrix}
\dot{p}_\phi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\
\dot{p}_\theta(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\
\dot{p}_\psi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi})
\end{pmatrix}
+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V)
\begin{pmatrix}
p_\phi \\
p_\theta \\
p_\psi
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

そして、式 $(17)$ を使って、式 $(20)$ から、 $p_\lambda$ を消去したもの、つまり、

<tex>
\begin{pmatrix}
\ddot{\phi} \\
\ddot{\theta} \\
\ddot{\psi}
\end{pmatrix}
=
V\begin{pmatrix}
\dot{p}_\phi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\
\dot{p}_\theta(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\
\dot{p}_\psi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi})
\end{pmatrix}
+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V)V^{-1} 
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

も見かけは違いますが、

<tex>
V V^{-1} = I \tag{##}
</tex>

の両辺を $t$ で微分してやれば、

<tex>
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V)V^{-1} + V \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V^{-1}) = 0 \tag{##}
</tex>

となって、同じ方程式を与えることが分かります。

計算の実行
===================

まず、さっき考えた通り、式 $(14)$ と式 $(15)$ から、 $\dot{p}_\lambda$ を消去します。
それには $V$ の逆行列 $V^{-1}$ が必要ですので、それを求めます。 $V$ は次の形をしていました。

<tex>
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} &
\dot{\theta} &
\dot{\psi}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sin^2 \theta}\alpha & \dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta} \beta & -\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \\ 
\dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta}\beta & \gamma & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta \\
-\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta & \frac{1}{I_z} + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\alpha 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p_\phi \\
p_\theta \\
p_\psi 
\end{pmatrix} \tag{11}
</tex>

長くなるので、計算過程は省略します。
逆行列は、例えば余因子行列を求める方法で求めてください。

<tex>
\alpha \gamma - \sin^2 \psi \cos^2 \psi \beta = \frac{1}{I_x I_y}
</tex>

に注意すれば、

<tex>
\begin{pmatrix}
p_\phi \\
p_\theta \\
p_\psi 
\end{pmatrix}
&=V^{-1}
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
I_x I_y \sin^2 \theta \gamma +I_z \cos^2 \theta & - I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin \theta \beta & I_z \cos \theta \\ 
- I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin \theta \beta & I_x I_y \alpha & 0 \\
I_z \cos \theta & 0 & I_z 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

となります。
すると、 正方行列の三連続積の展開_ を利用して、

<tex>
\dot{p}_\theta &=
\begin{pmatrix}
p_\phi &
p_\theta &
p_\psi 
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}
\Theta 
\begin{pmatrix} 
p_\phi \\
p_\theta \\
p_\psi 
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} \dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi} \end{pmatrix}
V^{-1}
\Theta 
V^{-1}
\begin{pmatrix} 
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi} 
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} \dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_x I_y \sin \theta \cos \theta \gamma - I_z \sin \theta \cos \theta & -\dfrac{1}{2}I_x I_y \sin \psi \cos \psi \cos \theta \beta & -\dfrac{I_z}{2}\sin \theta \\
-\dfrac{1}{2}I_x I_y \sin \psi \cos \psi \cos \theta \beta & 0 & 0 \\
-\dfrac{I_z}{2}\sin \theta & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi} 
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

また、 $\dot{p}_\psi$ についても、

<tex>
\dot{p}_\psi 
&=
\begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}
\Psi 
\begin{pmatrix} 
p_\phi \\
p_\theta \\
p_\psi 
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} \dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi} \end{pmatrix}
V^{-1}
\Psi 
V^{-1}
\begin{pmatrix} 
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi} 
\end{pmatrix}
</tex>

<tex>
\begin{pmatrix} \dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin^2 \theta \beta & -\dfrac{1}{2} I_x I_y \cos 2 \psi \sin \theta \beta & 0 \\
-\dfrac{1}{2} I_x I_y \cos 2 \psi \sin \theta \beta & I_x I_y \sin \psi \cos \psi \beta & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi} 
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

次に、 $V^{-1}$ の時間微分を求めます。記法の簡単のため、

<tex>
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V^{-1}) = T \tag{##}
</tex>

とします。



<tex>
V^{-1} = 
\begin{pmatrix}
I_x I_y \sin^2 \theta \gamma +I_z \cos^2 \theta & - I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin \theta \beta & I_z \cos \theta \\ 
- I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin \theta \beta & I_x I_y \alpha & 0 \\
I_z \cos \theta & 0 & I_z 
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

でしたので、

<tex>
\frac{\mathrm{d} \alpha }{\mathrm{d} t } = 2 \cos \psi \sin \psi \dot{\psi} \beta \tag{##}
</tex>

<tex>
\frac{\mathrm{d} \gamma }{\mathrm{d} t } = -2 \cos \psi \sin \psi \dot{\psi} \beta \tag{##}
</tex>

に注意すれば、

<tex>
T_{11} &= 2 (I_x I_y \sin \theta \cos \theta \gamma - I_z \sin \theta \cos \theta ) \dot{\theta} \\
&- 2 I_x I_y \sin^2 \theta \sin \psi \cos \psi \beta \dot{\psi} \tag{##}
</tex>

<tex>
T_{12} &= T_{21} \\
&= - \cos 2 \psi \sin \theta I_x I_y \beta \dot{\psi} - \sin \psi \cos \psi \cos \theta I_x I_y \beta \dot{\theta} \tag{##}
</tex>

<tex>
T_{13} &= T_{31} \\ 
&= -I_z \sin \theta \dot{\theta} \tag{##}
</tex>

<tex>
T_{22} = 2 I_x I_y \sin \psi \cos \psi \beta \dot{\psi} \tag{##}
</tex>

<tex>
T_{23} = T_{32} = T_{33} = 0 \tag{##}
</tex>

ここで、

<tex>
\begin{pmatrix}
\ddot{\phi} \\
\ddot{\theta} \\
\ddot{\psi}
\end{pmatrix}
&=
V \Bigl( 
\begin{pmatrix}
\dot{p}_\phi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\
\dot{p}_\theta(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\
\dot{p}_\psi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi})
\end{pmatrix}
-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V^{-1})
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{pmatrix} 
\Bigr) \\
&\equiv V \bm{x} \\
&= V \begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

のように、列ベクトル $\bm{x}$ を定義します。
すると、

<tex>
x_1 &= ( 2I_z - 2 I_x I_y \gamma )\sin \theta \cos \theta \  \dot{\phi}\dot{\theta} \\
&+ 2 I_x I_y \sin^2 \theta \sin \psi \cos \psi \beta  \  \dot{\phi}\dot{\psi} \\
&+ I_x I_y \sin \psi \cos \psi \cos \theta \beta \ \dot{\theta}^2 \\
&+ (I_x I_y \cos 2 \psi \beta + I_z )\sin theta \ \dot{\theta}\dot{\psi}
</tex>

<tex>
x_2 &= (I_x I_y \gamma - I_z)\sin \theta \cos \theta \ \dot{\phi}^2 \\
&+ (I_x I_y \cos 2 \psi \beta - I_z) \sin \theta  \  \dot{\phi}\dot{\psi} \\
&- 2 I_x I_y \sin \psi \cos \psi \beta \  \dot{\theta}\dot{\psi}
</tex>

<tex>
x_3 &= - I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin^2 \theta \beta \  \dot{\phi}^2 \\
&+ (I_z - I_x I_y \cos 2 \psi \beta) \sin \theta \  \dot{\phi}\dot{\theta} \\
&+ I_x I_y \sin \psi \cos \psi \beta \  \dot{\theta}^2
</tex>

となります。
そして、この列ベクトルに $V$ をかければ良いのです。
よって運動方程式は、

<tex>
\ddot{\phi} 
&= \frac{\sin 2 \psi \cos \theta}{2}\{ I_x I_y \beta (\alpha + \gamma) - I_z \beta \} \ \dot{\phi}^2 \\
&+ \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \{ I_z \alpha - I_x I_y \alpha (\alpha + \gamma) \} \ \dot{\phi}\dot{\theta} \\
&+ \frac{\sin 2 \psi}{2}\{I_x I_y \beta (\alpha + \gamma) - I_z \beta \} \ \dot{\phi}\dot{\psi} \\
&+ \frac{1}{\sin \theta}\{ 1 -I_x I_y (\frac{\cos^2 \psi}{I_x^2}+\frac{\sin^2 \psi}{I_y^2}) + I_z \alpha \} \ \dot{\theta}\dot{\psi} \tag{##}
</tex>

<tex>
\ddot{\theta} 
&= \frac{\sin 2 \theta}{2}\{ I_x I_y (\frac{\sin^2 \psi}{I_x^2}+\frac{\cos^2 \psi}{I_y^2})-I_z \gamma \} \ \dot{\phi}^2 \\
&+ \sin \psi \cos \psi \cos \theta \{ I_z \beta - I_x I_y \beta (\alpha + \gamma) \} \ \dot{\phi}\dot{\theta} \\
&+ \sin \theta \{ -1 +I_x I_y (\frac{\sin^2 \psi}{I_x^2}+\frac{\cos^2 \psi}{I_y^2})-I_z \gamma \}\ \dot{\phi}\dot{\psi} \\
&+ \frac{\sin 2 \psi}{2} \{ I_z \beta - I_x I_y \beta (\alpha + \gamma) \} \ \dot{\theta}\dot{\psi} \tag{##}
</tex>

<tex>
\ddot{\psi} 
&= \frac{\sin 2 \psi}{2} \{ I_z \beta \cos^2 \theta - I_x I_y \beta (\alpha + \gamma) \cos^2 \theta - \frac{2 I_x I_y}{I_z}\sin^2 \theta \} \ \dot{\phi}^2 \\ 
&+ \left[ \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} \{ I_x I_y \alpha(\alpha + \gamma) - I_z \alpha \} + \sin \theta \{ \frac{I_x I_y}{I_z}(\alpha + \gamma) + 1 \} \right] \ \dot{\phi}\dot{\theta} \\
&+ \frac{\sin 2 \psi \cos \theta}{2}\{ I_z \beta - I_x I_y \beta (\alpha + \gamma) \}\ \dot{\phi}\dot{\psi} \\
&+ \frac{I_x I_y}{2 I_z} \sin 2 \psi \beta \ \dot{\theta}^2 \tag{##}
</tex>

となります。

それでは、今日はこの辺で。
お疲れ様でした。





.. _正方行列の三連続積の展開: http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/3MatricesProduct/

@@author:クロメル@@
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