#rst2hooktail_source ============================================================ 対数関数lnと指数関数expが逆関数であることの証明 ============================================================ この記事では、 、 <tex> y= f(x)= ln \ x = log_e \ x </tex> が [*]_ 、 ..[*] 大学では、 $e$ を底とする対数関数 $log_e \ x$ を、 $ln \ x $ と書きます。 <tex> y= g(x) = e^x </tex> の逆関数であることを確認します。 本題 ====================== <tex> y &= (f \circ g)(x) \\ &= ln \ e^x \\ &= x ln \ e \\ &= x </tex> は、簡単に示せます [*]_ 。 .. [*] ここで、 $ln\ x^y = y ln \ x$ という性質を用いました。 では、はたして、 <tex> y &= (g \circ f)(x) \\ &= e^{ln \ x} \\ &= x \tag{##} </tex> は、どうしたら、示せるでしょうか? それには、ちょっと工夫が要ります。 式 $(1)$ において、 <tex> x = e^t </tex> と置いてやるのです。 <tex> y &= (g \circ f)(x) \\ &=e^{ln \ x} \\ &= e^{ln \ e^t} \\ &= e^{t ln \ e} \\ &= e^t \\ &= x \tag{##} </tex> 一番最後の行で、最初に決めた関係 $e^t=x$ を用いました。 これで、めでたく <tex> (f \circ g)(x)=(g \circ f)(x)=x </tex> が示せました。 では、そろそろ、今日はここまで。 @@author:クロメル@@ @@accept:2010-05-17@@ @@category:物理数学@@ @@id:lnAndExp@@