#rst2hooktail_source =================== 三角関数の合成 =================== 二つの三角関数 <tex> a\sin\theta,\quad b\cos\theta </tex> を,一つの三角関数 <tex> r\sin(\theta+\phi) </tex> の形に変形することができます.ここで <tex> r=\sqrt{a^2+b^2},\quad \phi=\tan^{-1}\frac{b}{a} </tex> です.この関係は単振動の合成などで必要となります. 証明 -------------- 三角関数の合成の関係式を,天下り的に証明します. まず,つぎの図のような直角三角形を考えます. .. image:: fig1.png ここで $r=\sqrt{a^2+b^2}$ と置きます.すると図から .. image:: fig5.png .. image:: fig6.png ということが分かります.つぎに $r\sin(\theta+\phi)$ を加法定理で展開します. <tex> r\sin(\theta+\phi) = r(\sin\theta\cos\phi+\cos\theta\sin\phi) </tex> ここに先ほどの $\sin\phi$ , $\cos\phi$ の値を代入して <tex> r\sin(\theta+\phi) &= r\left(\sin\theta\cdot\frac{a}{r}+\cos\theta\cdot\frac{b}{r}\right)\\ &= a\sin\theta+b\cos\theta </tex> が得られ,冒頭で説明した関係式が正しいことが分かります. この関係式は,図と一緒に覚えておくと間違いがなくて良いです. また, $\phi$ は <tex> \sin\phi=\frac{b}{r},\quad \cos\phi=\frac{a}{r} </tex> の関係を満たす角度ですから, $\tan$ で表すと <tex> \tan\phi=\frac{\sin\phi}{\cos\phi}=\frac{b}{a} </tex> であり, $\phi=$ の形にするには逆三角関数にすれば良く, <tex> \phi=\tan^{-1}\frac{b}{a} </tex> と表せます. 単振動の例 -------------- 例として,二つの単振動 <tex> A_1\sin(\omega t+\phi_1),\quad A_2\sin(\omega t+\phi_2) </tex> を足し合わせて一つの単振動に合成してみます. まず,合成してできあがる単振動の式を <tex> A\sin(\omega t+\phi) </tex> と置いておきます.この段階では $A$ と $\phi$ はどんな値なのか分かりません. 未知数です.合成後の式を上のように置いたのですから, <tex> A\sin(\omega t+\phi) = A_1\sin(\omega t+\phi_1)+A_2\sin(\omega t+\phi_2) \tag{1} </tex> という方程式ができます.これから三角関数の合成をして, いま未知数と置いた $A$ と $\phi$ を決めます. 加法定理で 式(1) の右辺を展開し,整理します. <tex> A_1&\sin(\omega t+\phi_1)+A_2\sin(\omega t+\phi_2)\\ &= A_1(\sin\omega t \cos\phi_1 + \cos\omega t \sin\phi_1) + A_2(\sin\omega t \cos\phi_2 + \cos\omega t \sin\phi_2)\\ &= (A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2)\sin\omega t + (A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2)\cos\omega t </tex> ここで, <tex> A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2=a,\quad A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2=b </tex> と書き換えてみますと 式(1) は <tex> A\sin(\omega t+\phi) = a\sin\omega t + b\cos\omega t </tex> と書けます.これは三角関数の合成の式そのものですね.したがって <tex> A=\sqrt{a^2+b^2},\quad \phi=\tan^{-1}\frac{b}{a} </tex> です. $a$ と $b$ を元に戻すと <tex> A &= \sqrt{(A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2)^2+(A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2)^2}\\ \phi &= \tan^{-1}\frac{A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2}{A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2} </tex> が得られます. @@author:崎間@@ @@accept:2004-11-1@@ @@category:物理数学@@ @@id:trifuncCombine@@