#rst2hooktail_source ============================================================ 剛体のオイラー角でのハミルトニアンを解く ============================================================ 剛体の回転シリーズ番外編3です。 せっかく番外編2で剛体のハミルトニアンを求めたので、 剛体のハミルトニアンを解いてトルクのかからない 剛体の運動方程式を導いてみました。 復習 =================== まず、ハミルトニアンを確認します。 剛体のハミルトニアンを次のようなものでした。 <tex> H &=\frac{1}{2 I_x \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}^2 \\ &+ \frac{1}{2 I_y \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \}^2 \\ &+ \frac{p_\psi^2}{2 I_z} \tag{##} </tex> パラメータ $\lambda$ に対して、 <tex> \dot{\lambda} = \frac{\partial H}{\partial p_\lambda} \tag{##} </tex> <tex> \dot{p}_\lambda = - \frac{\partial H}{\partial \lambda} \tag{##} </tex> です。 ハミルトニアンの運動量での微分 ================================= それでは、さっそく式 $(2)$ を求めてみましょう。 <tex> \dot{\phi} &= \frac{\partial H}{\partial p_\phi} \\ &= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \cos \psi \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \\ &+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \sin \psi \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi - \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \tag{##} </tex> ここで、次のように $\alpha , \beta , \gamma$ を定義します。 <tex> \alpha = \frac{\cos^2 \psi}{I_x}+\frac{\sin^2 \psi}{I_y} \tag{##} </tex> <tex> \beta = \frac{1}{I_y}-\frac{1}{I_x} \tag{##} </tex> <tex> \gamma = \frac{\sin^2 \psi}{I_x}+ \frac{\cos^2 \psi}{I_y} \tag{##} </tex> すると、式 $(4)$ は、次のようになります。 <tex> \dot{\phi} &= \frac{1}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\phi +\frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta}\beta\ p_\theta - \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\phi \tag{##} </tex> 同様に、 $\dot{\theta}, \dot{\psi}$ についても、 <tex> \dot{\theta} &= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \times (- \sin \theta \sin \psi) \\ &+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi - \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \times ( \sin \theta \cos \psi) \\ &= \frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta} \beta p_\phi + \gamma p_\theta - \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta p_\psi \tag{##} </tex> <tex> \dot{\psi} &= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}\times (- \cos \psi \cos \theta ) \\ &+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \sin \psi + \sin \theta \sin \psi p_\theta \}\times (- \sin \psi \cos \theta ) \\ &+ \frac{p_\psi}{I_z} \\ &= \frac{- \cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\phi - \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta}\beta \ p_\theta + (\frac{1}{I_z} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \alpha ) p_\psi \tag{##} </tex> これらを行列で表示すると、 <tex> \begin{pmatrix} \dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sin^2 \theta}\alpha & \dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta} \beta & -\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \\ \dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta}\beta & \gamma & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta \\ -\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta & \dfrac{1}{I_z} + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_\phi \\ p_\theta \\ p_\psi \end{pmatrix} \\ &\equiv V \begin{pmatrix} p_\phi \\ p_\theta \\ p_\psi \end{pmatrix} \tag{##} </tex> となります。行列部分を、 $V$ で定義しました。 ハミルトニアンの位置座標での微分 ================================= 次は、式 $(3)$ を計算していきます。 まずは $\dot{p}_\phi$ を求める作業から、これはハミルトニアンが $\phi$ を含まないので簡単ですね。 <tex> \dot{p}_\phi = -\frac{\partial H}{\partial \phi} = 0 \tag{##} </tex> 次に、 $\dot{p}_\theta$ を求めます。これは、すこし面倒です。 <tex> \dot{p}_\theta &= - \frac{\partial H}{\partial \theta} \\ &= \frac{\cos \theta}{I_x \sin^3 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}^2 \\ &- \frac{1}{I_x \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} (\cos \psi \sin \theta p_\psi - \cos \theta \sin \psi p_\theta) \\ &+ \frac{\cos \theta}{I_y \sin^3 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \}^2 \\ &- \frac{1}{I_y \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \cos \psi p_\theta \} (\sin \psi \sin \theta p_\psi + \cos \theta \cos \psi p_\theta) \\ &= \frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta}\alpha \ p_\phi^2 \\ &+ \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin^2 \theta}\beta \ p_\phi p_\theta \\ &- \frac{1 + \cos^2 \theta}{\sin^3 \theta} \alpha \ p_\phi p_\psi \\ &+ 0 \times p_\theta^2 \\ &- \frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \ p_\theta p_\psi \\ &+ \frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta} \alpha \ p_\psi^2 \tag{##} </tex> 式 $(12)$ を二次形式の行列を使って表すと、 <tex> \dot{p}_\theta &= \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{\cos \theta}{\sin^3 \theta}\alpha & \dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{2\sin^2 \theta}\beta & -\dfrac{1 + \cos^2 \theta}{2\sin^3 \theta}\alpha \\ \dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{2\sin^2 \theta}\beta & 0 & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi}{2\sin^2 \theta} \beta \\ -\dfrac{1 + \cos^2 \theta}{2\sin^3 \theta}\alpha & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi}{2\sin^2 \theta} \beta p_\theta & \dfrac{\cos \theta}{\sin^3 \theta} \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_\phi \\ p_\theta \\ p_\psi \end{pmatrix} \\ &\equiv \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix} \Theta \begin{pmatrix} p_\phi \\ p_\theta \\ p_\psi \end{pmatrix} \tag{##} </tex> 上の式の最後で、行列部分を $\Theta$ を使って定義しました。 同様に、 $\dot{p}_\psi$ を求めると、 <tex> \dot{p}_\psi &= -\frac{\partial H}{\partial \psi} \\ &= \frac{-1}{I_x \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \{ -(p_\phi - \cos \theta p_\psi) \sin \psi - \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \\ &+ \frac{-1}{i_y \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \{ -(p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \\ &= -\frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \ p_\phi^2 + \frac{- \cos^2 \psi+ \sin^2 \psi}{\sin \theta} \beta \ p_\phi p_\theta \\ &+ \frac{2 \cos \theta \sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \ p_\phi p_\psi + \sin \psi \cos \psi \beta \ p_\theta^2 \\ &+ \frac{\cos \theta}{\sin \theta}( \cos^2 \psi - \sin^2 \psi )\beta \ p_\theta p_\psi - \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\sin \psi \cos \psi \beta \ p_\psi^2 \\ &= \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta & \dfrac{\alpha - \gamma}{2 \sin \theta} & \dfrac{\cos \theta \sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta}\beta \\ \dfrac{\alpha - \gamma}{2 \sin \theta} & \sin \psi \cos \psi \beta & \dfrac{\cos \theta (\gamma - \alpha)}{2 \sin \theta} \\ \dfrac{\cos \theta \sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta}\beta & \dfrac{\cos \theta (\gamma - \alpha)}{2 \sin \theta} & -\dfrac{\cos^2 \theta \sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_\phi \\ p_\theta \\ p_\psi \end{pmatrix} \\ &\equiv \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix} \Psi \begin{pmatrix} p_\phi \\ p_\theta \\ p_\psi \end{pmatrix} \tag{##} </tex> となります。ちなみに、 <tex> (\cos^2 \psi - \sin^2 \psi)\beta = \gamma - \alpha \tag{##} </tex> です。 大まかな流れ =================== さて、これからの大まかな流れを書いていきます。まず、式 $(11)$ を逆に解きます。つまり、 <tex> \begin{pmatrix} p_\phi \\ p_\theta \\ p_\psi \end{pmatrix} = V^{-1} \begin{pmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{pmatrix} \tag{##} </tex> を計算します。 次にこれを使って式 $(14)$ と式 $(15)$ から、 $p_\lambda$ を消去します。 さらに、式 $(17)$ を $t$ で微分して、 <tex> \begin{pmatrix} \dot{p}_\phi \\ \dot{p}_\theta \\ \dot{p}_\psi \end{pmatrix} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V^{-1}) \begin{pmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{pmatrix} + V^{-1} \begin{pmatrix} \ddot{\phi} \\ \ddot{\theta} \\ \ddot{\psi} \end{pmatrix} \tag{##} </tex> 最後に、これを <tex> \begin{pmatrix} \ddot{\phi} \\ \ddot{\theta} \\ \ddot{\psi} \end{pmatrix} </tex> について解けば、 運動方程式が完成します。つまり、 <tex> \begin{pmatrix} \ddot{\phi} \\ \ddot{\theta} \\ \ddot{\psi} \end{pmatrix} =V\begin{pmatrix} \dot{p}_\phi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\ \dot{p}_\theta(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\ \dot{p}_\psi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \end{pmatrix} -V\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V^{-1}) \begin{pmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{pmatrix} \tag{##} </tex> ここで、式 $(12)$ , $(14)$ , $(15)$ を使って、 $\dot{p}_\lambda$ を消去したことを強調して置きます。 ちなみに、式 $(11)$ の両辺を $t$ で微分して、 <tex> \begin{pmatrix} \ddot{\phi} \\ \ddot{\theta} \\ \ddot{\psi} \end{pmatrix} = V\begin{pmatrix} \dot{p}_\phi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\ \dot{p}_\theta(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\ \dot{p}_\psi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \end{pmatrix} +\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V) \begin{pmatrix} p_\phi \\ p_\theta \\ p_\psi \end{pmatrix} \tag{##} </tex> そして、式 $(17)$ を使って、式 $(20)$ から、 $p_\lambda$ を消去したもの、つまり、 <tex> \begin{pmatrix} \ddot{\phi} \\ \ddot{\theta} \\ \ddot{\psi} \end{pmatrix} = V\begin{pmatrix} \dot{p}_\phi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\ \dot{p}_\theta(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\ \dot{p}_\psi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \end{pmatrix} +\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V)V^{-1} \begin{pmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{pmatrix} \tag{##} </tex> も見かけは違いますが、 <tex> V V^{-1} = I \tag{##} </tex> の両辺を $t$ で微分してやれば、 <tex> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V)V^{-1} + V \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V^{-1}) = 0 \tag{##} </tex> となって、同じ方程式を与えることが分かります。 計算の実行 =================== まず、さっき考えた通り、式 $(14)$ と式 $(15)$ から、 $\dot{p}_\lambda$ を消去します。 それには $V$ の逆行列 $V^{-1}$ が必要ですので、それを求めます。 $V$ は次の形をしていました。 <tex> \begin{pmatrix} \dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sin^2 \theta}\alpha & \dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta} \beta & -\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \\ \dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta}\beta & \gamma & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta \\ -\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta & \frac{1}{I_z} + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_\phi \\ p_\theta \\ p_\psi \end{pmatrix} \tag{11} </tex> 長くなるので、計算過程は省略します。 逆行列は、例えば余因子行列を求める方法で求めてください。 <tex> \alpha \gamma - \sin^2 \psi \cos^2 \psi \beta = \frac{1}{I_x I_y} </tex> に注意すれば、 <tex> \begin{pmatrix} p_\phi \\ p_\theta \\ p_\psi \end{pmatrix} &=V^{-1} \begin{pmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} I_x I_y \sin^2 \theta \gamma +I_z \cos^2 \theta & - I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin \theta \beta & I_z \cos \theta \\ - I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin \theta \beta & I_x I_y \alpha & 0 \\ I_z \cos \theta & 0 & I_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{pmatrix} \tag{##} </tex> となります。 すると、 正方行列の三連続積の展開_ を利用して、 <tex> \dot{p}_\theta &= \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix} \Theta \begin{pmatrix} p_\phi \\ p_\theta \\ p_\psi \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi} \end{pmatrix} V^{-1} \Theta V^{-1} \begin{pmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_x I_y \sin \theta \cos \theta \gamma - I_z \sin \theta \cos \theta & -\dfrac{1}{2}I_x I_y \sin \psi \cos \psi \cos \theta \beta & -\dfrac{I_z}{2}\sin \theta \\ -\dfrac{1}{2}I_x I_y \sin \psi \cos \psi \cos \theta \beta & 0 & 0 \\ -\dfrac{I_z}{2}\sin \theta & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{pmatrix} \tag{##} </tex> また、 $\dot{p}_\psi$ についても、 <tex> \dot{p}_\psi &= \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix} \Psi \begin{pmatrix} p_\phi \\ p_\theta \\ p_\psi \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi} \end{pmatrix} V^{-1} \Psi V^{-1} \begin{pmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{pmatrix} </tex> <tex> \begin{pmatrix} \dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin^2 \theta \beta & -\dfrac{1}{2} I_x I_y \cos 2 \psi \sin \theta \beta & 0 \\ -\dfrac{1}{2} I_x I_y \cos 2 \psi \sin \theta \bet & I_x I_y \sin \psi \cos \psi \beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> -\dfrac{1}{2} I_x I_y \cos 2 \psi \sin \theta \beta </tex> <tex> -I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin^2 \theta \beta </tex> <tex> I_x I_y \sin \psi \cos \psi \beta </tex> .. _正方行列の三連続積の展開: http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/3MatricesProduct/ @@author:クロメル@@ @@accept:2010-03-03@@ @@category:力学@@ @@id:equationOfRigidHamiltonian@@