#rst2hooktail_source ============================================================ 剛体のオイラー角でのハミルトニアンを解く ============================================================ 剛体の回転シリーズ番外編3です。 せっかく番外編2で剛体のハミルトニアンを求めたので、 剛体のハミルトニアンを解いてトルクのかからない 剛体の運動方程式を導いてみました。 復習 =================== まず、ハミルトニアンを確認します。 剛体のハミルトニアンを次のようなものでした。 <tex> H &=\frac{1}{2 I_x \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}^2 \\ &+ \frac{1}{2 I_y \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \}^2 \\ &+ \frac{p_\psi^2}{2 I_z} \tag{##} </tex> パラメータ $\lambda$ に対して、 <tex> \dot{\lambda} = \frac{\partial H}{\partial p_\lambda} \tag{##} </tex> <tex> \dot{p}_\lambda = - \frac{\partial H}{\partial \lambda} \tag{##} </tex> です。 ハミルトニアンの運動量での微分 ================================= それでは、さっそく式 $(2)$ を求めてみましょう。 <tex> \dot{\phi} &= \frac{\partial H}{\partial p_\phi} \\ &= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \cos \psi \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \\ &+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \sin \psi \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi - \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \tag{##} </tex> ここで、次のように $\alpha , \beta , \gamma$ を定義します。 <tex> \alpha = \frac{\cos^2 \psi}{I_x}+\frac{\sin^2 \psi}{I_y} \tag{##} </tex> <tex> \beta = \frac{1}{I_y}-\frac{1}{I_x} \tag{##} </tex> <tex> \gamma = \frac{\sin^2 \psi}{I_x}+ \frac{\cos^2 \psi}{I_y} \tag{##} </tex> すると、式 $(4)$ は、次のようになります。 <tex> \dot{\phi} &= \frac{1}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\phi +\frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta}\beta\ p_\theta \\ &- \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\phi \tag{##} </tex> 同様に、 $\dot{\theta}, \dot{\psi}$ についても、 <tex> \dot{\theta} &= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \times (- \sin \theta \sin \psi) \\ &+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi - \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \times ( \sin \theta \cos \psi) \\ &= \frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta} \beta p_\phi + \gamma p_\theta - \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta p_\psi \tag{##} </tex> <tex> \dot{\psi} &= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}\times (- \cos \psi \cos \theta ) \\ &+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \sin \psi + \sin \theta \sin \psi p_\theta \}\times (- \sin \psi \cos \theta ) \\ &+ \frac{p_\psi}{I_z} \\ &= \frac{- \cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\phi - \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta}\beta \ p_\theta + (\frac{1}{I_z} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \alpha ) p_\psi \tag{##} </tex> これらを行列で表示すると、 <tex> \begin{pmatrix} \dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sin^2 \theta}\alpha & \dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta} \beta & -\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \\ \dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta}\beta & \gamma & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta \\ -\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta & \frac{1}{I_z} + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_\phi \\ p_\theta \\ p_\psi \end{pmatrix} &\equiv V \begin{pmatrix} p_\phi \\ p_\theta \\ p_\psi \end{pmatrix} \tag{##} </tex> となります。行列部分を、 $V$ で定義しました。 ハミルトニアンの位置座標での微分 ================================= 次は、式 $(3)$ を計算していきます。 まずは $\dot{p}_\phi$ を求める作業から、これはハミルトニアンが $\phi$ を含まないので簡単ですね。 <tex> \dot{p}_\phi = -\frac{\partial H}{\partial \phi} = 0 </tex> 次に、 $\dot{p}_\theta$ を求めます。これは、すこし面倒です。 <tex> \dot{p}_\theta &= - \frac{\partial H}{\partial \theta} \\ &= \frac{\cos \theta}{I_x \sin^3 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}^2 \\ &- \frac{1}{I_x \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} (\cos \psi \sin \theta p_\psi - \cos \theta \sin \psi p_\theta) \\ &+ \frac{\cos \theta}{I_y \sin^3 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \}^2 \\ &- \frac{1}{I_y \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \cos \psi p_\theta \} (\sin \psi \sin \theta p_\psi + \cos \theta \cos \psi p_\theta) \\ &= \frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta}\alpha \ p_\phi^2 \\ &+ \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin^2 \theta}\beta \ p_\phi p_\theta \\ &- \frac{1 + \cos^2 \theta}{\sin^3 \theta} \alpha \ p_\phi p_\psi \\ &+ 0 \times p_\theta^2 \\ &- \frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \ p_\theta p_\psi \\ &+ \frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta} \alpha \ p_\psi^2 \tag{##} </tex> 式 $(12)$ を二次形式の行列を使って表すと、 <tex> \dot{p}_\theta &= \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{\cos \theta}{\sin^3 \theta}\alpha & \dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{2\sin^2 \theta}\beta & -\dfrac{1 + \cos^2 \theta}{2\sin^3 \theta}\alpha \\ \dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{2\sin^2 \theta}\beta & 0 & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi}{2\sin^2 \theta} \beta \\ -\dfrac{1 + \cos^2 \theta}{2\sin^3 \theta}\alpha & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi}{2\sin^2 \theta} \beta p_\theta & \dfrac{\cos \theta}{\sin^3 \theta} \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_\phi \\ p_\theta \\ p_\psi \end{pmatrix} \\ &\equiv \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix} \Theta \begin{pmatrix} p_\phi \\ p_\theta \\ p_\psi \end{pmatrix} \tag{##} </tex> 上の式の最後で、行列部分を $\Theta$ を使って定義しました。 同様に、 $\dot{p}_\psi$ を求めると、 <tex> \dot{p}_\psi &= -\frac{\partial H}{\partial \psi} \\ &= \frac{-1}{I_x \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \{ -(p_\phi - \cos \theta p_\psi) \sin \psi - \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \\ &+ \frac{-1}{i_y \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \{ -(p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \\ &= -\frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \ p_\phi^2 + \frac{- \cos^2 \psi+ \sin^2 \psi}{\sin \theta} \beta \ p_\phi p_\theta \\ &+ \frac{2 \cos \theta \sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \ p_\phi p_\psi + \sin \psi \cos \psi \beta \ p_\theta^2 \\ &+ \frac{\cos \theta}{\sin \theta}( \cos^2 \psi - \sin^2 \psi )\beta \ p_\theta p_\psi - \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\sin \psi \cos \psi \beta \ p_\psi^2 \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix} \\ &\equiv \Psi \begin{pmatrix} p_\phi \\ p_\theta \\ p_\psi \end{pmatrix} \tag{##} </tex> となります。ちなみに、 $(\cos^2 \psi - \sin^2 \psi)\beta = \gamma - \alpha$ です。 @@author:クロメル@@ @@accept:2010-03-03@@ @@category:力学@@ @@id:equationOfRigidHamiltonian@@