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長さ一定の棒と一次関数の極値(ラグランジェの未定乗数法)
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この記事は、Joh氏の ラグランジェの未定乗数法_ の(蛇足的)例題です。
問題
定数 $a,b,c$ がある。独立変数 $x,y$ が、$g(x,y)=x^2+y^2-c^2=0$ を満たしながら
変化する時、 $f(x,y)=ax+by$ の最大・最小値を求めよ。
ラグランジェの未定乗数法
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ここでラグランジェの未定乗数法という手法を用います。
未定乗数を $\lambda$ として、
<tex>
F(x,y,\lambda) &= f-\lambda g \\
&= ax + by - \lambda (x^2+y^2-c^2) \tag{##}
</tex>
とおくと、極値の条件は、
<tex>
\dfrac{\partial F}{\partial x} = a - 2 \lambda x = 0 \tag{##}
</tex>
<tex>
\dfrac{\partial F}{\partial y} = b - 2 \lambda y = 0 \tag{##}
</tex>
<tex>
\dfrac{\partial F}{\partial \lambda} = x^2+y^2-c^2 = 0 \tag{##}
</tex>
から求まります。
まず、 $\lambda$ を求めます。
式 $(2),(3)$ を $x,y$ について解いて、式 $(4)$ に代入すると、
<tex>
\left( \dfrac{a}{2 \lambda} \right)^2 + \left( \dfrac{b}{2 \lambda} \right)^2 -c^2 = 0 \tag{##}
</tex>
ここで $\lambda$ について解くと、
<tex>
\lambda = \pm \dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2c} \tag{##}
</tex>
ここで、 $\pm$ の二解の内、最大値を表す $+$ の方について考えていきます。
すると、式 $(2),(3)$ より、 $x,y$ が求まり、
<tex>
x = \dfrac{a}{2 \lambda} = \dfrac{ca}{\sqrt{a^2+b^2}} \tag{##}
</tex>
<tex>
y = \dfrac{b}{2 \lambda} = \dfrac{cb}{\sqrt{a^2+b^2}} \tag{##}
</tex>
となります。
よって最大値 $f_{max}$ は、 $f(x,y) = ax+by$ にこの $x,y$ を代入したときなので、
<tex>
f_{max} = \dfrac{ca^2}{\sqrt{a^2+b^2}} +\dfrac{cb^2}{\sqrt{a^2+b^2}} \\
&= c \sqrt{a^2+b^2} \tag{##
</tex>
となり最大となります。
蛇足
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僕はいつも気になるのですが、
平面 $f = ax+by-c \ \ \ (a>b)$ に対して、
偏微分係数、もしくは、ナブラ $\bm{\nabla}$ を用いた勾配、
<tex>
\bm{\nabla}f = \left( \dfrac{df}{dx},\dfrac{df}{dy} \right) = (a,b) \tag{##}
</tex>
の時、もっともきつい勾配の方向は、 $x$ 軸かな?と思ってしまいます。
しかし、それは単位距離 $\sqrt{x^2+y^2}=c$ だけ進んだ時の増加量を比較するべき
なので、 $\bm{\nabla}f=(a,b)$ の方向がもっともきつい傾斜なんですね。
スキー場で実感しましょう(笑)。
それでは、今日はこの辺で。お疲れ様でした。
.. _ラグランジェの未定乗数法:http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/lagrangeUndetermin/
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-12-24@@
@@category:物理数学@@
@@id:lagrangeUndMulti@