代数的な考え方の方の差は成分ごとの差に変わるだけなので比較的納得しやすいかと思います. \bm{a}-\bm{b}\stackrel{\mathrm{def}}{\equiv}\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}\stackrel{\mathrm{def}}{\equiv}\begin{pmatrix} a_x-b_x \\ a_y-b_y \\ a_z-b_z \end{pmatrix}
となります.
の部分ですが、最後の「となります。」が文章としてつながってないですよね?というより、数式の登場も何も説明なくなので、違和感がありました。