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査読/ラグランジュの運動方程式を確認しよう!(佑弥著)/2
- nemoさん.読んでくださってありがとうございます. 任意の座標系で成り立つといえるのは,運動方程式を導くときに特定の座標系を指定していないからです.つまり,これは,どんな座標系でも同じ式になるんだよ，ということですよね. 途中の式変形は,もう少し詳しくするかは悩んでいます. あんまり細かくして式の意味が分からなくなるのもいやですけど,式を飛ばしすぎてしまっても意味ないですし... もう少し考えて決めようと思います. -- 佑弥
- 途中式については悩みますよね
 あっ、同じ式になることを言ってるだけなんですね！それはわかりました。でも”同じ運動”の方程式になっているのかも言えるんでしたっけ？すいません。すっかり忘れてしまっていて(汗) -- nemo
- うーん,難しいですね. この記事で,そこまではっきり出してないんですけど,出発点と終着点を決めてその間の曲線で議論してますよね.曲線が分かったとして少しずらしてみるという発想ですから,座標系によらず同じ曲線を指定することにはなると思います. 後は,同じ曲線上を同じ時間の間に動く運動を表すのだから同じ運動になるのではないか?という発想だと思います.（たぶん．．．） -- 佑弥
- もう少しはっきりといえる気がしてきました.つまり,二つの式はまったく同じことの別表現なわけですから,同じ運動を表すといえることができますね. -- 佑弥
- 公開希望が出てしまっているのに申し訳ないのですが、やはり本当にそれで言えるのでしょうか？座標系を指定して定義や計算をしているのなら言えないかなぁと思ってしまうのですが・・・。イメージとしては佑弥さんのおっしゃっているように停留曲線が運動を表していることは間違いなく座標に依らないのですが・・・。"運動を表す変数"がポイントなんでしょうか？ -- nemo
- う〜ん・・・2点を決めてその間の経路を求めてるんだからいいんですねぇ。添え字をつけて定義されていると共変性の確認はやっておかないといけない気がしてしまって(汗)きっと私の勘違いかと思いますが(>_<) -- nemo
- 同じ式を表すということは理解なさっているのですよね．では，こう考えてはどうでしょうか?式が同値であるならそれをといた答えも同値なはずです．（そうでないと同じ式とは呼べません．）運動方程式の答えは運動をあらわす解となっているわけですから，答えが同じになるのだから，二つの式は同じ運動を表すことになります． -- 佑弥
- 最初の経路の説明は下手な説明でしたから，無視してもらってかまわないです．混乱させてしまって申し訳ないです．．．． -- 佑弥
- あと，一つ勘違いがあるかもしれそうなので確認させてください．一般座標変数についている添字は，座標系を指定するものではなくて，自由度ｎの運動を考えるにはｎ個の変数がいるから便宜的につけているものですよ．分かっておられるかもしれませんが，少しコメントが気になったので．．． -- 佑弥
- いいえ。僕が全くわかっていないだけです。m(_ _)m式が同じ"形"になることまでは確認しました。自由度がn個なのでn個の変数で書くことができるのは良いのですが座標変数ではないのですか？ -- nemo
- いえ，座標変数であっています．共変性の証明とおっしゃているのは，相対論でやるようなことでしょうか？運動を表せる一般化座標ならなんでもよい，という条件の下で，すべての一般化座標についてラグランジュの方程式を同じ \delta I=0 ということから導いたので，それらの式は \delta I=0という条件を通じて同値になりますから，共変性の確認は必要ないと思います． -- 佑弥
- というより，共変性の確認という手間を省くためにこんな導入を考えてみました． -- 佑弥
- はい、相対論でやるようなことを言っています。定義の中(ラグランジアンとか作用)が座標によっているのに結果が座標によらないと言えるのでしょうか？すいません、わかんなくて公開をおくらせちゃって(>_<) -- nemo
- もちろん佑弥さんは無視してもかまわないといった経路の話こそ幾何学的には座標にはよらない話なので結果は座標によらないだろうということはわかるのですが・・・(汗) -- nemo
- いえ、僕もとても勉強になるので、気になさらないでください。たしかにラグランジアンは座標系によって形は変わります。しかし、その積分として与えられる作用Ｉは、汎関数（つまり数値を表すから）ですから座標によりません。つまり、元の条件\delta I=0は座標系によらない式ですよね。 -- 佑弥
- 考えているすべてのラグランジュの運動方程式は、座標系によらない式\delta I=0を通じて同値なわけですから、運動を表せる一般化座標なら、すべて同じ運動を表すことになります。 -- 佑弥
- 確かに経路の関数になっていて汎関数だけどそれは一般化座標の関数でもあります。また変分も一般化座標を用いていますよね？そうすると言えないのではないかと思います。どうでしょうか？ -- nemo
- 作用Iは運動の経路のみによって値が定まる汎関数のはずです．座標を変換しても，同じ曲線を表す限り作用Iの値は変化しません．作用Iは経路を変更することによって値が変化するのです． -- 佑弥
- 変分を一般化座標で表すのは，変分を具体的に表現するには経路の仮想変分を表現する必要があるからです．そのとき座標系を特に指定していないことが，座標系によらず成立することの根拠となるはずで，逆に座標を使わずに表現するなら，ただの抽象論で終わってしまいます． -- 佑弥
- 具体的に考えてみてください．座標変換をしても，運動エネルギーやポテンシャルエネルギーは位置と時間を指定すれば同じ値を示すはずです．それならば，ラグランジアンも座標系とは無関係に位置と時間を指定したら，その値は定まりますよね。 -- 佑弥
- >変分を具体的に表現するには経路の仮想変分を表現する必要があるから これっていうのは経路CがC=C(q)だからですよね？qを用いて議論しているってことは座標による議論をしているということなので根拠にはなっていないと思います。微分形式を用いて座標によらない定義、議論をしないといけないような気がするのですが・・・。 -- nemo
- もちろん，数学的な厳密さを求めるのならば微分形式で考えるか，きちんと汎関数微分を定義する必要があると思います．しかし，初学者が解析力学を理解するのにそこまでしなければならないのでしょうか?物理的な内容を理解し，実際の力学の現象を思い浮かべながら，普通の力学よりも一歩踏み込んだ立場から考えることができればそれでよいと思うのです．（もちろん，さらにレベルアップを図るなら数学的な技能は必要に成ってきます．） -- 佑弥
- 座標によらない議論をしない限り座標変換の計算をして共変性を確認しないといけないのではないでしょうか？ -- nemo
- 例えば，ラグランジアンがn次元配位空間の位置と時間を指定すれば座標系によらず同じ値を示すことは，数学的に厳密に示さなくても，物理的には明らかだと思うのです．それの経路を指定して，時間によって積分した作用Iは座標系によらないといっても良いのではないでしょうか? -- 佑弥
- もちろん変分原理のココロそのものは座標によらない議論だとはわかるのですが実際に変分して計算する時に座標による形で行っても共変性は示すことが出来ないと思うのですが、いかがでしょう？ -- nemo
- また，経路は座標の関数だと言われましたが，別の一般座標でも同様に表現できます．何度も述べたように特定の座標系を指定していないまま議論が成立していることがなによりの証拠です． -- 佑弥
- 連続投稿のせいで順番が逆になってしまっていますね。 -- nemo
- そうですね．でも，僕たちがこの議論の内容が分かればそれでよいように思います． -- 佑弥
- イメージ的には良いかもしれませんが確認することが目的ということでこのような質問をしました。続きます。 -- nemo
- qと書いているのは，便宜上文字が必要になるからです．一般座標の性質を満たすものならこのqはなんでも良いとして議論をしているのです． -- 佑弥
- それは座標系を指定していることになるのでしょうか？ -- 佑弥
- "一般座標"(ここではq)で計算してるので座標による形だと思うのですが。 -- nemo
- しかし，運動を表せるなら，デカルト座標でも，極座標でも，円柱座標でも何でもいいですよといって議論をしているのですよ? -- 佑弥
- でもある任意の"座標"を導入してることには間違いないと思います。 -- nemo
- その任意の座標が，何でも良いといっているのですから，これはあらゆる座標系で成り立つことになりませんか? -- 佑弥
- ちょっと整理してみたいと思います． -- 佑弥
- 座標を導入していることには間違いありません．そうしなければ，座標系についての議論ができないからです． -- 佑弥
- はい
 僕も今整理中なので(汗)素直には受け入れられるんですが気になってしまって・・・すいませんm(_ _)m -- nemo
- しかし，その導入する座標に運動を表せるなら何でもいいですよ，という一般性（もしくは自由度）を持たせることで，あらゆる座標系でラグランジュの運動方程式は同値になるということを記事で示したのです． -- 佑弥
- あとは，それらの色々な座標系の中の一つであるデカルト座標について成立することを認めることであらゆる座標系について成り立つとしたのです． -- 佑弥
- 確かに座標は導入していますが，それは何でも良いといっているのですから，これは特定の座標系でないと成り立たないというようなことは，ありえないはずです．というのが，僕の主張です． -- 佑弥
- う〜ん・・・大体はOKなんですが・・・。ちょっと待ってくださいね。 -- nemo
- 今回の議論で変分を用いるとどの座標系でもラグランジュ方程式の形が出てくることはわかりました。またラグランジュ方程式はデカルト座標の時にはニュートンの運動方程式と同じになることもわかりました。はたしてそれだけで他の座標系でのラグランジュ方程式が同じ運動をあらわしていると言えるのでしょうか？ -- nemo
- ところで，こういう形の証明って数学でも使いそうな気がするのですが，使わないのでしょうか? -- 佑弥
- う〜ん・・・私にはわからないですね(>_<)Johさんわたりは知っていそうですね！ -- nemo
- 方程式が同値なら解も同値になります．この場合，解は一般に座標の時間変化で与えることができるはずです．（人間にその方程式が解けるのかどうかは知りません．）これは，おんなじ運動に他ならないですよね． -- 佑弥
- 確かに，Johさんは詳しそうですね．一度意見を聞いてみたいですね． -- 佑弥
- コメントしていただくまでひとまず保留にしましょうか？私ももう少し考えてみます。 -- nemo
- 分かりました．僕も眠たいので，一応保留でお願いします．また朝がきてから議論しましょう． -- 佑弥
- 日曜日はネットから隔離されてしまう(家がネットにつながっていないため)ので月曜日以降になってしまうかもしれませんが(汗) -- nemo
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前半部分(査読/ラグランジュの運動方程式を確認しよう!/nemo)
