物理のかぎしっぽ 執筆中/数学のレシピ (1) (K.I.著)

数学のレシピ(1)(K.I. 著)

2007-04-26 (木) 18:48:06

[HTML]
http://hooktail.maxwell.jp/kagi/a2af0cd17faac2708fd09890be287ade.html ※これは改定前の草稿のアドレスです!※

 取り敢えず数学を一から構築しようという考えで書いてみました。 高校生程度以上を対象と考えています。皆様のご意見をお待ちしております。 参考文献の著者,「野崎」氏は,「崎」は「大さき」ではなく「立さき」です。 が,この文字を表示させる方法が分かりません。ご存知の方がおられましたら,お教え下さい。

(ここから [2007-04-27 (金) 17:53:19] に追加)

Joh 氏のコメントに対する返事です。

今後の構想ですが,数の実数までの拡張,証明の形式化 (ヒルベルトプログラムもどき), 命題論理と一階の述語論理 (高階の述語論理を完全な形で言及することはしません), 数学の健全性,完全性,不完全性まで厳密な証明は無理にしても言及したいと思っています。

(ここから [2007-04-28 (土) 23:21:18]に追加。)

改訂しました。改定後のアドレスは

http://hooktail.maxwell.jp/kagi/20b0e72c50b5774699d5eb1b2f6ece70.html

です。

最初にアップした草稿は,よく冷えた辛口の白ワインを飲みながら書いた物でして, 色々と証明が面倒になって「えい,これも公理にしてしまえ!」という気分になっていたようです。 私は公理の独立性を重視はしていませんが,やはり独立であった方が美しいので, 今回の改訂では公理を大幅に減らしました。

また,まるさまには立さきの文字を教えて頂いたようですが, 残念ながら私の環境 (Mac OS10.3.9 + Safari 1.3.2) では表示する事が出来ませんでしたので, まだ崎の字を改訂する事は出来ませんでした。

(ここから [2007-05-02 (水) 17:42:24]に追加。)

 三訂です。本質的な部分は殆ど変わっていません。 これから一週間くらいコメントがなければ,査読に提出する予定です。

http://hooktail.maxwell.jp/kagi/508983af4d4c997f9ad83202c3c2fd76.html

改訂の内容は更新履歴にまとめてあります。

(ここから [ 2007-05-30 (水) 11:05:19 ] に追加)

記事を分割しました。

大きく,三つに分けたいと思います。 (1) 命題論理 (2) 一階の述語論理 (3) 基礎的な数論 今回は,そのうちの (1) 命題論理の記事です。全部で 8 項目になりました。

(1) 命題論理の記号と文法

http://hooktail.maxwell.jp/kagi/47ee7b9262946aa1fc99bb3aa335186f.html

(2) 命題論理の公理系と推論規則

http://hooktail.maxwell.jp/kagi/572384d1e954cbad1ac9081e87294fa8.html

(3) 命題論理の形式的証明論 (1)

http://hooktail.maxwell.jp/kagi/393f05303750181415c46d0a34125c07.html

(4) 命題論理の形式的証明論 (2)

http://hooktail.maxwell.jp/kagi/1bf8ad23c4ec3c834417794e7f99fc61.html

(5) 命題論理の形式的証明論 (3)

http://hooktail.maxwell.jp/kagi/9342e1a020ab4152791c923ccc32201e.html

(6) 命題論理の意味論

http://hooktail.maxwell.jp/kagi/8d5815bd43a6003c6908fc7bfb46292b.html

(7) 命題論理の健全性

http://hooktail.maxwell.jp/kagi/0b4ebd9fbdefec571f692a133eabeb34.html

(8) 命題論理の内容的完全性

http://hooktail.maxwell.jp/kagi/e41ed37ada229c6d6e5c87745b7ce8e1.html

当初予定していた物に比べて随分と重たくなってしまいました……ま,良いかと思ってアップします。 述語論理は,やはり記号と文法から始めて,形式的証明論,意味論,健全性,無矛盾性,内容的完全性 (ゲーデルの完全性定理), と書いて行くと思います。そして,ゲーデルの (第一) 不完全性定理, (ヒルベルトとベルナイズの) 第二不完全性定理, これ位迄で恐らく私の能力の限界です……続きは「数学基礎論ゼミ」でもしましょうか。 (6 月下旬を目処にメーリングリストに流します) 基礎的な数論に関しては,自然数のペアノの公理,有理数とは何か,実数とは何か,加減乗除,それくらいを目標にします。

K.I.

更新履歴

[2007-04-27 (金) 17:53:19]

本ページに今後の構想等を追加しました。

[2007-04-28 (土) 23:21:18]

改訂しました。改訂内容は以下の通りです。

  • 命題論理の部分の公理が多すぎましたので,大幅に減らしました。
  • 論理記号の定義を加えました。
  • 一部の術語に英語を加えました。

これらは,参考文献に挙げた『数学基礎論入門』を参考にして記述しました。

[2007-05-02 (水) 17:42:24]

 三訂しました。記号の大きさなどの微小な部分の変更です。

[2007-05-30 (水) 11:05:19]

 記事を八分割し,読みやすくしました。数論を排しました。数論は述語論理終了後改めて書きます。

[2007-06-04 (月) 20:20:36]

 レシピ (02) を改訂しました。

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