物理のかぎしっぽ 査読/様々な写像(NOBU著)/1

記号 (f など) の使い方が難しいですね。

メッセージ

 NOBU さん,執筆お疲れさまです。

 記事は分かり易く,読みやすい物だと思いました。

 写像 f: a ∈ A → b ∈ B に対して集合の像 f: S ⊂ A → T ⊂ B と同じ f で表すのはまぁ,多少の混乱があるにしてもあまり大きな問題にはならないと思うのですが,逆像 f^-1: T ⊂ B → S ⊂ A と逆写像 f^-1: b ∈ B → a ∈ A を同じ f^-1 で表すのは大きな混乱があるような気がします。

 少なくとも私は混乱しました。例えば, A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 1} として,写像 f: a ∈ A → b ∈ B を f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 1 と定義した場合, B の部分集合 T = {1} に対して逆像 f^-1(T) が定義できて,f^-1(T) = {1, 2, 3} ⊂ A ですが,逆写像 f^-1 は定義できませんね。

 逆像 f^-1 は常に写像になるとは限らず,ある特別な場合 (写像 f が全単射の場合) に写像になり,これを逆写像と呼んでいるという理解で良いのでしょうかね。そしてその更に特別な場合,即ち B の部分集合 T として B 自身を取った場合に逆像 f^-1(B) = A となり,これが逆写像 f^-1 に一致して, この場合に ∀x ∈ B, f^-1(x) ∈ f^-1(B) = A になるという理解で宜しいでしょうか。

 どうも同じ記号を別の意味に使うのは難しいですね……長文失礼しました。

返答

  • K.I.さん、査読して頂きどうもありがとうございます。K.I.さんの理解で良いと思います。逆像に関しては教科書にも逆写像と混乱しないようにと注意書きがしてありました。記事でも少しコメントしておこうと思います。ただ僕自身良くわからず気になっているのは、逆像「f^-1」の引数に要素を入れて良いのかということです。つまりK.I.さんの書いた最後の式ではf^-1(x)となっていますがこのように書いていいのかということです。(もちろん言いたいことは分かりますが)。それがわからなかったので記事中に「逆像は要素を入れても逆写像は定義できない」という注意書きを書くのを躊躇しました。ちなみに教科書には逆像は集合であり逆写像は写像であるからモノが違うと書いてありました。 -- NOBU 2007-05-11 (金) 13:24:56
  •  逆像 f^-1 の引数に要素を入れるというのはそれは駄目だと思いますよ。私の書いた最後の式の f^-1(x) の f^-1 は逆写像です。逆像としての f^-1 は「集合→集合」で,逆写像としての f^-1 は「(集合の) 元→ (集合の) 元」です。逆像としての f^-1 を f$ で,逆写像としての f^-1 を f# で表す事にして問題の式を含む段落を書き直してみます。  逆像 f$ は常に写像になるとは限らず,ある特別な場合 (写像 f が全単射の場合) に写像になり,これを逆写像と呼んでいるという理解で良いのでしょうかね。そしてその更に特別な場合,即ち B の部分集合 T として B 自身を取った場合に逆像 f$(B) = A となり,これが逆写像 f% に一致して, この場合に ∀x ∈ B, f%(x) ∈ f$(B) = A になる   と,こういうことです。あぁ,私も混乱しています…… -- K.I. 2007-05-11 (金) 18:39:34
  • すいません、勘違いしていたようです。K.I.さんのおっしゃっていたことが理解できました。そのような理解で良いと思います。 -- NOBU 2007-05-11 (金) 21:06:58

 
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