物理のかぎしっぽ 査読/凸関数(佑弥著)/1

読みました。

メッセージ

 近頃はあまり活動していない K.I. です。

[感想] 良く纏まっていて分かりやすい記事だと思います。

[提案] f((1-t)x + ty) <= (1-t)f(x) + tf(y) のグラフがあれば,より分かりやすいかなと思います。が,私自身が絵心がなく,記事中に入れることを避けているので,これは余り強くは提案しません。

[質問] 「一変数の凸関数」の段落で,その性質の 3 番目, x < y ∈ [a, b] は, x < y ∈ (a, b) ではありませんか?また, f'(x-0) < f'(x+0) となるような凸関数ってあるのでしょうか。 (最初は,不連続な関数として, [-1, 1] で, f(-1) = 1, f(1) = 1, それ以外の全ての x ∈ (-1, 1) に対して f(x) = 0 を考えていたのですが,これでは, f'(-1-0) が定義出来ませんよね……)

[挙げ足取り] t ∈ [0, 1] ではなく, t ∈ (0, 1) の場合に,f((1-t)x + ty) < (1-t)f(x) + tf(y) になる (等号が成立しない) 場合が「真に下に凸」ですね。

[提案] 「凸関数の性質の証明」の段落で,どの部分が (1) から (3) の証明になっているのかを書いた方が分かりやすいと思います。

返答

  • 査読ありがとうございます.まず,図の件ですが,図は入れたいんですけど上手く作れないので,見送ってしまっている状態です.ご指摘された点はその通りですので,訂正したいと思います. -- 佑弥 2008-01-06 (日) 16:34:21
  • それで,f'(x+0)とf'(x-0)が一致しない例としてはf(x)=|x|などがあります.凸多角形ぽいグラフの場合は角ばっているところでは右側微係数と左側微係数が一致しません.一応どんな一変数凸関数も可算個の点を除けば,右側微係数と左側微係数が一致することが知られています. -- 佑弥 2008-01-06 (日) 16:38:06
  • 訂正しました. -- 佑弥 2008-01-06 (日) 16:42:29
  •  確認しました。 / 凸関数の基本的な不等式の項目で,一番最初の式が成り立つことの証明があるといいですね。勿論これは簡単なので,右側の不等式の両辺に t(γ - α) (> 0) を掛けて整理するとすぐにわかる旨の文章を加えるだけで充分だと思います。 / あと,証明が「照明」になっているのを発見してしまいました。 -- K.I. 2008-01-07 (月) 09:59:00
  • その方がわかりやすいですね.少し文章を付け加えました. -- 佑弥 2008-01-07 (月) 19:45:47
  •  良いのではないでしょうか。分かりやすいですよ。 -- K.I. 2008-01-07 (月) 22:19:11

 
トップ   編集 凍結 差分 バックアップ 添付 複製 名前変更 リロード   新規 一覧 単語検索 最終更新   ヘルプ   最終更新のRSS
Modified by 物理のかぎプロジェクト PukiWiki 1.4.6 Copyright © 2001-2005 PukiWiki Developers Team. License is GPL.
Based on "PukiWiki" 1.3 by yu-ji Powered by PHP 5.2.17 HTML convert time to 0.023 sec.