補について †
メッセージ †
まず、ある図形に内接する別の図形があるとき、そのふたつの図形の位数が等しくなるということについて･･･
「ある図形に内接する別の図形がある」ということは「ある図形の”ひとつの面に集まる頂点の数(n_k)”と”ひとつの頂点に集まる面の数(n_l)”が逆の関係にある図形がある」ということでいいんでしょうか？勝手にそう思っています。
次に位数について、単純な考え方で群に結びつくのか分かりませんが･･･
たとえば、正八面体の場合、
ひとつの頂点aに注目します。ひとつの頂点aに対して、隣り合う頂点の置換はn_l個です。次に、先に注目した頂点aの隣の頂点bに注目します。同様に、頂点bの隣合う頂点の置換は全部で$n_l$個ですが、ひとつは先の頂点aで考えたときと同じになってしまうので、結局重複しない置換は(n_l-1)個となります。以下同様に、置換を考えていくと、
n_l * (n_l-1) * … * 1 =(n_l)!=|A_{n_l}|
となります。
正六面体の場合には、この頂点の代わりに面で考えていけばいい･･･。
そうすれば、正十二面体、正二十面体も解決できる気がしました。
しかし、やはり群論の考え方とは離れてしまっているのでしょうか。
もしくは、考え方自体に間違いがあるかもしれません。
返答 †
- なんだか、合っているような気がします！なるほど
 -- Joh
- あれ、交代群の位数には、1/2がつきますよね。n_l * (n_l-1) * … * 1は、|S_{n_l}|ですかね。 -- Joh
- そういえば･･･ここって、交代群なんでしょうかね？正六面体は確か対称群だったと思うんですが･･･ -- 黒子
- 教科書には、正十二面体と正二十面体は交代群と書いてあります。位数も６０なので、５次の交代群で合ってると思うのですが、私は図形的に示せません。もうちょい考えてみます。 -- Joh
- どうやら、正十二面体に内接する正六面体を考えると、五次の交代群に対応させられるみたいです。面の形が正五角形ですから、対角線(五芒星の一辺)を一辺とする正六面体を考えれば、５種類あるからですね。作図が少し面倒そうですが、この線で証明してみます -- Joh
- 計算もせずに、変なことを書いてすいませんでした。 うぅむ・・・。私もまだ考えてみます。 -- 黒子
- ようやく証明を書きました。 -- Joh
- おぉ！！Johさん、すばらしいですね。図があるので分かりやすかったです。 -- 黒子
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査読/正多面体群２(Joh著)/2
