たい・タイ・鯛・体 †
メッセージ †
「商体」から「体の元の共役と･･･」まで目を通しました。
こんなに長く、抽象的数学を読んだことはないので、自分の中で理解できているのかどうかは怪しいものですが。。
ここまでで頭に浮かんだいくつかの質問＆提案を書いておきます。
1．「商体」:
“体になること”で商体をつくるもとの集合として整域が使われていますが、
整域でも、零元は存在しているのでは･･･？
‘零元を除いた整域’という集合ならば、零因子もまったくなくなって
うまく商体を定義できるのではないかと思いますが、いかがでしょうか？
2．「商体」：
“より抽象的な定義”の注釈中にある「剰余類」へのリンクよりも
個人的には、反射律，対称律，推移律を説明している「整数の加法群の剰余類」へのリンクのほうが、読者に対して親切かな？？って気がします。
3. 「分離拡大体」：
“標数≠0の場合”の節の題名のところですが、‘≠0’が見難くなっちゃってます。。
4. 「分離拡大体」：
“まとめ”のフローチャートですが、f'(a)=0のときには、重解を持つ可能性があるのでは･･･？^
“標数≠0の場合”でも‘導関数が0の場合、既約な方程式が重解を持つ可能性のある’とありますので、
フローチャートと本文の示すところがちょっとずれている気がします。。
いかがでしょうか？？？
5．「体の元の共役･･･」：
“正規拡大体と最小分解体･･･”の一つ目の証明中で‘g(x)’というのが出てきていますが、これはf(x)の間違いでしょうか？
そしてその少し下に、‘f(x)はE上でf_i(x)=･･･’とありますが、ここの‘f_i(x)’も
f(x)の間違いではないでしょうか？
以上です。
素体の一つ目の証明、難しいですね。。。
ここら辺の議論は、かなりややこしくなってきますね。
でも、ここら辺の議論を自分で勉強しているときに、Johさんの記事があれば、
かなり頭の中を整理できるのではないかと思います！！
(先日、実際に研究室の仲間が院試勉強で分からないことがあったときに、Johさんの記事を読んでいるのを発見しました！！)
返答 †
- 商体のリンクはご提案の通りに直しておきました。零元ですが、分母≠零元と決めておけば（←そう決めました）、分数同士の四則演算は零元を含んでいても問題なく定義できますので、零元があることはOKです。零因子があると、p/q × r/s = (pr)/(qs) のような普通の掛け算で、p,q,r,s≠0であっても、0/0が出てきてしまう場合があるということです。体の公理を満たすためには、零元は問題ではなくて、零因子が問題になります。 -- Joh
- すいません。少し質問を変えます。 “体になること”の3では、分母だけではなく、分子・分母ともに零元を除いて体としての条件を満たすかを考えています。体であることには、乗法について可換でなければいけないので、やはり零元は最初から商体をつくる集合の中に入れないほうがいいのではないかと思うのですが。 -- 黒子
- 分離拡大体ですが、f'(a)=0ならば重解を持ちます。そこは黒い⇔で結んであると思うのですが、意味が分かりにくかったでしょうか？ -- Joh
- あ、同時に書き込んでしまいました。おはようございます。（昨日のサッカーは残念でしたね） -- Joh
- 零元が問題になるのは乗法の逆元だと思いますが、そもそも体の公理で、『零元を掛ける場合を除いて逆元が存在する』となっていたと思います。それは、商体の場合でも同じだと思います。 -- Joh
- 標数≠0なら、導関数が０でも≠０でも、重解を持つ可能性があります。それは、本文からは分かりにくかったでしょうか。標数≠０のセクションに説明を追加した方がいいでしょうか。 -- Joh
- 研究室の仲間の人には、よくよくお礼を言っておいて下さいw -- Joh
- おはようございます。昨日のサッカーは非常に残念でした。。 分離拡大体のフローチャートですが、矢印を結ぶ場所が「重解を持つ」ではなく「重解を持つかもしれない」に結ばれるべきかなと思いました。「可能性がある」のか「持つ」と決定できるのか、、そこがチャートと本文でずれている気がしたのですが、私の勘違いでしょうか。。 も一度、読み直します。 -- 黒子
- 確かに、体になることの条件に零元の逆元は定義できないとありますね！！納得しました！ -- 黒子
- 黒子さんのおっしゃっている意味がやっと分かりました。ご指摘の通りです！！ フローチャートを少し直しました。 -- Joh
- 正規拡大の記事の誤植も直しました！（本当に誤植が多くてスミマセン。。。） -- Joh
- フローチャートの部分は私の言い方があいまいだったんです。修正してくださったところは、すべて確認しました。ということで、公開希望に賛成します！ -- 黒子
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査読/商体(Joh著)/1
