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楽器のスペクトル分析 †

メッセージ †

私は学部の時，無線研究部というクラブで電子楽器を作っていました．オケラの友人にオーボエを吹いてもらって，それをオシロスコープで表示した波形を写真に撮り，それから手書きにして，その図を数値データにして，数学科の先輩にフーリエ解析をしてもらって，高調波の強度比を決めるようなことをしました．

当時は，音の出だし(アタック)のような非定常な音をどうやって処理すればいいのか判らなかった気がします．今頃なら，どんなPCでもデジタル音源を持っているのだから馬鹿みたいな話です．

でも，音楽では，周波数だけでなく，その高周波成分；ホルマントと言ったと思いますが；がとても大事なことが昔から知られています．恐らく，昔の人と言えども，弦の振動，パイプの振動から高調波の合成は経験的にしっていた為にフーリエ解析がでたのではないかと「勝手に」考えています．

ーーーー

時はながれ，偶然から「複素関数論」や「TeXでの指数関数表現」に関わる自分ですが，先に述べた経験とあわせて，懐かしい思いがしました．

ーーーー

1) exp表示

オイラの公式はなんといってもe^ix,もとえe^jxと思いますが？

2) 2πf？

自分でも, 微分方程式の境界値問題などを解くに当って，フーリエ展開のお世話になりましたが，表記の簡潔性から，e^(jωt) に落ち着きました．

他方，制御の研究している人の論議に付き合うときにラプラス変換e^(-st) みたいな論議はありましたが，フーリエ展開の e^(jωt) とバッティングしなかったような気もします．

3) H(f), h(t)

これは，自分の特殊性かもしれませんが，「H」を見るとハミルトニアンを連想し，「h」を見るとプランク定数をれんそうします．その点，G(f),g(t)は，やや安全なように感じます．「G」を見るとグリーン関数を，「g」を見ると重力定数を思い出す，なんて人も出てきそうですが，そんな人には御免なさい．

4) でも，好きに書くのが一番ですよね．

とにもかくにも，一度書き終えてしまってから，他人の意見を噛締めるのが善いようです．

返答 †

• 楽しい学部時代ですね♪シンセサイザを作ったりもされてたんでしょうか。　本題です。expや2πfなどの表記は、どう見えるのが、その人にとってすっきりしているかによります。私は式(3)や(4)のようにe^{iωt}にすると、積分の前につく定数が定義によって変わってしまうということが気持ち悪いと感じているので、e^{2πft}を使っています。 制御では、解析のためにラプラス変換がよく用いられますね。ラプラス変換のsをjωに置きなおすと、フーリエ変換そっくりな形になるはずです。制御工学の議論で直接バッティングしなくとも、数学的には同じようなことをしているはずです。 -- 黒子 2006-08-23 (水) 23:12:08
• シンゼサイザどころかTRのLR発信回路を手作業で作っていました．こっちを直すと,あっちが止まる...．ICが無い時代で，計算機に興味がある人たちはFFをTRで自作し，論理式が動くのを実証したり，あるべきプログラム構造を検討されていました：のどかな時代だったことは確かです． -- mNeji? 2006-08-23 (水) 23:27:41
• この他の論議で，この解説は既に，解析を学んだ人が，もう少し高度な目線でフーリエ級数やフーリエ積分を理解するシリーズとの事でした．すこしその感触で，論議させていただきます． -- mNeji? 2006-08-27 (日) 15:16:32
  • それなら，フーリエ積分の前の相関関数で；
    • <tex>Z(f,\tau)=\int_{|infty}^{\infty}h(t)\exp^{i2\pi ft}dt</tex>
    • ここから<tex>Z(f,\tau) \to H(f) </tex>みたいな展開があると，納得できるようにおもいます．
  • いまは，(1)→(2)がすらりと出てしまっているので，拍子抜けの感じがします．
  • また，2πf表示の善さの一つに,フーリエ変換・逆変換での係数が「1」を根拠にされていますが，
    • (4)流と比較しても，式を入力する時の「2\pi f」と「\omega」では，脳と指への負担から，後者を好む人が少なくないともかんじます．まあ趣味の問題かもしれません.
  • δ関数の話は，掘り下げて欲しいとおもいます．特にフーリエ積分を始めた頃には，変形をしているうちに，綺麗な式が出てきたとおもったら，元の関数になってしまった，トホホ
    • な経験をだれしもしていましょう．
    • このδ関数的な特性を逆手にとって，関数の角張っているのをスムーズにするような手法もありませんかね．

• いろんなアイデアをありがとうございます！！

一つ目に関してなんですが、「相関関数からフーリエ積分の定義を導く」という方針を提案されていると受け止めました。この方針でもいいと思ったのですが、個人的に「フーリエ積分の定義は相関関数になってるんだ！」という事実に気が付いたときの感動を伝えたかったので、現在の記事は逆方向の方針になっています。
私の計画では、「フーリエ級数」の記事で相関関数、直交関数系からのフーリエの導出を示し、そこからフーリエ変換にもつながるようにしたいと考えています。

(1)、(2)がいきなり出てくるのも、私のわがままで「まず定義を出してしまって、そこからその定義が示す意味をジワジワかみ締めていきたい」という考えからです。この話の進め方では、もの足りないでしょうか？ちょっと考えます。

ωよりfを推奨するのは、趣味の問題です。慣れた表現がいいという人もいますし、私のようにあっさりとfに変えてしまう人もいますし･･･。ただ、記事中に書いた根拠があって、私はfを推奨しているだけです。

デルタ関数のは、読んでて負担になるだけなんだったら書きましょうか！

しかし、「関数の角ばっているのをスムーズに･･･」とは、具体的にどういうことなんでしょうか？理解不足ですいません。 m(_ _)m-- 黒子 2006-08-28 (月) 07:47:45

なかなか巧く表現できないのですが -- mNeji? 2006-08-28 (月) 12:14:38 †

• 《個人的に「フーリエ積分の定義は相関関数になってるんだ！」という事実に気が付いたときの感動》

1. 此処を切り口に話をもって行くようにする工夫をされていただきたいと思います．
2. 上記と勘案しながら，《私のわがままで「まず定義を出してしまって、そこからその定義が示す意味をジワジワかみ締めていきたい」》とも折り合いを付けて欲しいと思います．
   • これらの2つの課題を工夫して書ききっていただけると素敵だと思います．
3. こんな贅沢なアイデアを実行できるのは「かぎプロジュクト」以外では不可能だろうからです．きっとプロの著作者も黒子さんや，Johさんの書きっぷりを見て，羨ましく感じている方もいらっしゃると思います．
4. 「ωよりfを推奨するのは、趣味の問題です。」は了解しました．ただ公式集的なところは，両論併記にした方が良いかも知れませんね．
5. デルタ関数については，初級編でなければドンドン書いてしまって良いと思います．
6. 黒子さんの記事に触発されただけですが，「単にデルタ関数の定義を有限周波数で打ち切れば，リンギング的な挙動が少なくなる」から一種のスムージングになるかなと思っただけで，根拠のある話ではありません．

• MLで，この査読システムでは，コメンテータと著者との論議(今している論議)がやや書きにくいと申し上げました．
  1. そこで，このPukiWikiのテキスト・フォーマッティング・ルールを活用したらどこまで書きよくなるかのテストをしようと思いました．
  2. 突然に変な書き方をしまして御免なさい．変でしたら戻します．
• コメント文は、このままで結構ですよ。 具体的にどうするのか、頭に浮かんでいることから実行していきます。ありがとうございます。-- 黒子 2006-08-28 (月) 22:40:41
• 言いそびれてしまいましたが，私の感想は「査読」とは少し違うとおもいます．むしろ，著者の方が脱稿した第一原稿から触発された自分のイメージをそのまま出すことによって，著者と読者の相互理解を高めたいと願っています．ですから，直ぐに直すというより，その先を書き続けているであろう著者が，その論議から更に触発されて筆が進むといいなぁ，という自分勝手な感触にすぎません．ですから気楽にジャブの応酬を楽しんでいただければ嬉しいです． -- mNeji? 2006-08-28 (月) 23:51:09