物理のかぎしっぽ 記事ソース/非弾性散乱の簡単なモデル

記事ソース/非弾性散乱の簡単なモデル

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記事ソースの内容

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非弾性衝突の簡単なモデル
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この記事では、完全弾性衝突 $e=1$ をする球同士の衝突でも、
非弾性衝突を起こしうる簡単な例を論じます。

設定
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.. image :: chromel-inelasticCollision-01.png

上図の様に完全弾性衝突を行う大きさの等しい球1,2,3を考え、それぞれの質量をm,m/2,m/2とします。
球1はx方向に速度vで運動しています。
球2と球3は自然長 $0$ の減衰付きのばねでつながれて静止しているとします。
衝突の際はy軸に対して対称な衝突をし、
1と2の間で力積 $I$ 、1と3との間で力積 $I$ をそれぞれ交換します。

ここで注意することとして、反発係数の式は恐らくは使えません。
よって、その代わり運動量保存則と運動エネルギー保存則を用いることを注意しておきます。

力積と運動量
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今回は運動方程式ではなく、運動量と力積の関係を用います。
今回は瞬間的に力積を授受するのであって、
もし運動方程式を用いるのでは互いに力を与えながら、
有限の距離を進まなければ、運動の変化が起こらないからです。
速度はIの関数として、次の様になります。

<tex>
m \dot{x}_1 -mv &= -2I_x \\ 
m/2 \ \dot{x}_2 &= I_x \\ 
m/2\  \dot{x}_3 &= I_x \\ 
m \dot{y}_1 &= 0 \\ 
m/2 \ \dot{y}_2 &= I_y \\ 
m/2 \ \dot{y}_3 &= -I_y 
\tag{##}
</tex>

ここで、球の半径が等しいことで衝突の瞬間に正三角形ができますから、
球2,3が受ける力積の絶対値を $I$ とすると、

<tex>
I_x &= I \cos \left( \dfrac{\pi}{6} \right) = \dfrac{\sqrt{3}I}{2} \\
I_y &= I \sin \left( \dfrac{\pi}{6} \right) = \dfrac{I}{2} \tag{##}
</tex>

変数 $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3,I_x,I_y,I$ の9個に対し、
方程式が8つしかありません。条件がもう一つ必要です。

とりあえずは、速度を求めておきましょう。

<tex>
\dot{x}_1 &= v- \dfrac{\sqrt{3}I}{m} \\ 
\dot{x}_2 &= \dfrac{\sqrt{3}I}{m} \\ 
\dot{x}_3 &= \dfrac{\sqrt{3}I}{m} \\ 
\dot{y}_1 &= 0 \\ 
\dot{y}_2 &= \dfrac{I}{m} \\ 
\dot{y}_3 &= -\dfrac{I}{m}
\tag{##}
</tex>

運動エネルギー保存の法則
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さて、答えを言うと、$I$ を決めるのに足りない条件は、
衝突直前、直後においての運動エネルギーの保存則から得られます。

<tex>
\dfrac{m}{2}\left( \dot{x}_1^2 + \dot{y}_1^2 \right) 
+\dfrac{m}{4}\left( \dot{x}_2^2 + \dot{y}_2^2 \right) 
+\dfrac{m}{4}\left( \dot{x}_3^2 + \dot{y}_3^2 \right) 
= \dfrac{m}{2}v^2 \tag{##}
</tex>

式 $(4)$ に式 $(1)$ と $(2)$ を代入すると、 $I$ の二次式となります。

<tex>
&\dfrac{m}{2}\left( v- \dfrac{\sqrt{3}I}{m} \right)^2 
+\dfrac{2m}{4} \left( \left( \dfrac{\sqrt{3}I}{m} \right)^2+\left( \dfrac{I}{m} \right)^2 \right) 
= \dfrac{m}{2}v^2 \\
\\
&\dfrac{m}{2} \left( v^2 - \dfrac{2\sqrt{3}vI}{m} +\dfrac{3I^2}{m^2} \right)
+\dfrac{m}{2} \left( \dfrac{4I^2}{m^2} \right) = 0 \\
\\
&\dfrac{1}{2m} \left( - 2\sqrt{3}mvI + 7I^2 \right) = 0 \\
\\
&I \left( 7I - 2\sqrt{3}mv \right) = 0 \tag{##} 
</tex>

ここで $I=0$ では素通りですので、 

<tex>
I=\dfrac{2\sqrt{3}}{7}mv \tag{##}
</tex>

と決定されました。すると、式 $(3)$ より、運動の全てが決定します。

反発係数が1にならない
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ここで興味があるのは、x軸方向の相対速度変化(反発係数)です。

<tex>
e 
&= - \dfrac{\dot{x}_2-\dot{x}_1}{0-v} \\
&= - \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}I}{m}-(v-\dfrac{\sqrt{3}I}{m})}{0-v} \\
&=  \dfrac{\dfrac{2\sqrt{3}I}{m}-v}{v} \\
&=  \dfrac{\dfrac{2\sqrt{3}I}{m}-v}{v} \\
&= \dfrac{(2\sqrt{3})^2}{7} -1 \\
&= \dfrac{12-7}{7} \\
&= \dfrac{5}{7} \tag{##}
</tex>

見事、反発係数は $1$ ではなくなりました。
私が思うに、今回はx方向の運動がy方向の運動自由度に逃げたのですが、
他の非弾性衝突も、このように何らかの他のエネルギー自由度に
散らばってしまうため、起こるのだと思います。
減衰付きばねは、得られたy方向の運動をやがて熱に変えます。
このばねは球2,3が飛び去ってしまうのを防ぐ為ですが、本質ではありません。

今日はここまで、お疲れ様でした。

@@author:クロメル@@
@@accept:2020-03-14@@
@@category:力学@@
@@id:inelasticCollision@@
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