記事ソース/波の式1 - 物理のかぎプロジェクトWiki

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記事ソース/波の式1†

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波の式1
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波動を学んでいると，「波の式」というものが登場します．振動の様子を，式で表してみようというものです．
任意の点 $x$ の時刻 $t$ における変位 $y(x, t)$ を求めることが目標です．
以下では，変位 $y[{\rm m}]$ や位置 $x[{\rm m}]$ ，時刻 $t[{\rm s}]$ ，周期 $T[{\rm s}]$ ，波長 $\lambda[{\rm m}]$ ，振幅 $A[{\rm m}]$ など，波動を学ぶ上で基本的な要素が
出てきます．これらについて勉強が済んでいない人は，まず 波の大事な性質_ から読んでみてください．

原点は単振動している
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分かりやすいように，波源は原点にあるとします．そして，その波源は 単振動_ しています．
原点での変位 $y(0, t)$ はどのように表せるでしょうか．

ここでは周期を $T$ としていますので， $T[s]$ 経過した時に元の変位に戻っていなければなりません．
時刻 $t=0$ での変位を $0$ とし，そこから単振動をスタートしたとすると，

<tex>y(0, t)=A\sin 2\pi \frac{t}{T} \tag{1}</tex>

となります． $A$ は振幅です．時刻 $t=0$ からスタートして， $T[s]$ 秒後の $t=T$ のときに初めて，位相が $2\pi$ に戻りますね．
つまり，変位が元に戻ってくるということです．ここで，位相が無次元になっていることも確認してください．
（式(1)のより詳細な説明については， 単振動_ を参照してください．）

原点の振動が伝わっていく
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原点の振動が式(1)のように表されるとき，波はどのように伝わっていくのでしょうか．
グラフに描いてみましょう．ひもの先を原点で振動させるようなイメージです．
波源から出た波は，等速で伝わっていきます．

- $t=0$

.. image:: tomo-sinwave-fig1.png

- $t=\frac{1}{4}T$

.. image:: tomo-sinwave-fig2.png

- $t=\frac{1}{2}T$

.. image:: tomo-sinwave-fig3.png

- $t=\frac{3}{4}T$

.. image:: tomo-sinwave-fig4.png

- $t=T$

.. image:: tomo-sinwave-fig5.png

- $t=\frac{5}{4}T$

.. image:: tomo-sinwave-fig6.png

このように伝わっていきますね．原点での振動がだんだんと伝わっていくことが分かります．
上に示したグラフは， $y-x$ グラフです．つまり，グラフ1枚1枚は時刻 $t$ を固定したものだということです．
そして，時刻を追って動かすと，以下のようになります．

.. image:: tomo-sinwave-fig8.gif

原点以外の点ではどのような振動になるか
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では，原点以外の点ではどのような振動になるかをみていきましょう．
波は以下のように伝わっていくのでした．

.. image:: tomo-sinwave-fig7.png

点 $x$ にスポットを当てて考えてみます．今，点 $x$ にいる波も，
元はといえば原点にいました．何秒か前の原点の振動が再現されているということもできますね．
では，何秒前の原点の振動が再現されているのでしょうか．
波の伝わる速さを $v$ としますと，原点から点 $x$ に到達するまでに $\frac{x}{v}$ という時間がかかっています（ $x>0$ としています）．
つまり， $\frac{x}{v}$ 秒前の原点での振動が，今，点 $x$ で再現されているのです．
原点は(1)で表される振動をしているわけですから，点 $x$ における変位を $y(t, x)$ とすると，

<tex>y(t, x)=y\left(0, t-\frac{x}{v}\right)=A\sin 2\pi\frac{\left( t-\frac{x}{v} \right)}{T}</tex>

となることが分かります．少し書き換えてみますと，

<tex>
\begin{array}{rl}
y(t, x) &= \displaystyle A\sin \frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{x}{v}\right) \\
       &= \displaystyle A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{vT}\right) \\
       &= \displaystyle A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right) \tag{2}\\
\end{array}
</tex>

となります（ $\lambda$ は波長）．今まで一生懸命この式を覚えていた!!っていう人，いませんか？
えぇ～っと･･･ $T$ はどこだっけ･･･ $\lambda$ はどこだっけ･･･分子？分母？なんて思い出そうとしていた人，いませんか？
導出はそれほど難しくありませんから，式を覚えるより考え方を身に付けてしまった方が良いですよ．
また，はじめのセクションでも触れましたが，位相は無次元です．(2)式の括弧の中を見てみると， $t[{\rm s}]$ が $T[{\rm s}]$ で
割ってありますし， $x[{\rm m}]$ が $\lambda[{\rm m}]$ で割ってありますから，ちゃんと無次元になっています．
そういったところを気をつけていると，つまらない間違えをふせげるかもしれません．


.. _波の大事な性質: http://www12.plala.or.jp/ksp/wave/waveProperty/index.html
.. _単振動: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/simpleHarmonicMotion/index.html


@@author: tomo@@
@@accept: 2005-07-10@@
@@category: 波と振動@@
@@information: イラスト:崎間, アニメーション:CO@@
@@id:sinWave1@@

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