物理のかぎしっぽ 記事ソース/二変数のテイラー展開

記事ソース/二変数のテイラー展開

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記事ソースの内容

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二変数のテイラー展開
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この記事では、任意回数だけ微分できる普通の二変数関数のテイラー展開公式

<tex>
f(x+ \delta x , y + \delta y) = \sum_{i,j=0}^{\infty} \dfrac{\partial_x^i \partial_y^j f(x,y)}{i!j!}\delta x^i \delta y^j \tag{##}
</tex>

を直観的に理解する為に書きます。厳密性は置いておきます(汗)。

一変数のテイラー展開(復習)
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まず、一変数のテイラー展開を復習しておきます。

<tex>
f(x+ \delta x ) &= f(x) + \dfrac{f^\prime(x)}{1!}\delta x + \dfrac{f^{\prime \prime}(x)}{2!}(\delta x)^2 + \dfrac{f^{\prime \prime \prime}(x)}{3!}(\delta x)^3 + \cdots \\
&= \sum_{i=0}^\infty \dfrac{(\dfrac{d}{dx})^i f(x)}{i!}(\delta x)^i  \tag{##}
</tex>

これはいいでしょうか?おそらく気になるところと言えば、分母の $i!$ だと思います。これは上の式で定数 $x$ と変数 $\delta x$ と見た時、 $i$ 回微分すると $(\delta x)^i$ は定数 $i!$ となります。そこで、 $x$ の瞬間の値(つまり $\delta x = 0$ の時の値であり、 $(\delta x)^i$ より低次と高次の寄与は無視し、 $(\delta x)^i$ の寄与のみを考える)が $\left( \dfrac{d}{dx} \right)^i f(x)$ となる様に $i!$ が付いている訳です。

二変数のテイラー展開
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さて、これを拡張しましょう。

<tex>
f(x + \delta x, y + \delta y) = ? \tag{##}
</tex>

を展開するわけです。 $y$ の変化は取りあえず置いておいて、 $x$ の展開を行います。

<tex>
f(x + \delta x, y + \delta y) = f(x , y+\delta y) + \dfrac{\partial_x f(x , y+\delta y)}{1!}\delta x + \dfrac{\partial_x^2 f(x , y+\delta y)}{2!}(\delta x)^2 + \dfrac{\partial_x^3 f(x , y+\delta y)}{3!}(\delta x)^3 + \dfrac{\partial_x^4 f(x , y+\delta y)}{4!}(\delta x)^4 + \cdots  \tag{##}
</tex>

ここで、今度は $y$ 方向の展開をそれぞれの項について考えていきます。
ここでは4次まで書いて行こうと思います。

<tex>
f(x , y+\delta y) = f(x,y) + \dfrac{\partial_y f(x , y)}{1!}\delta y + \dfrac{\partial_y^2 f(x , y)}{2!}(\delta y)^2 + \dfrac{\partial_y^3 f(x , y)}{3!}(\delta y)^3 + \dfrac{\partial_y^4 f(x , y)}{4!}(\delta y)^4 + \cdots \tag{##}
</tex>

次に式 $(4)$ の右辺第二項を展開します。

<tex>
\dfrac{\partial_x f(x , y+\delta y)}{1!} = \dfrac{\partial_x f(x , y)}{1!} + \dfrac{\partial_y \partial_x f(x , y)}{1!1!}\delta y + \dfrac{\partial_y^2 \partial_xf(x , y)}{2!1!}(\delta y)^2 + \dfrac{\partial_y^3 \partial_xf(x , y)}{3!1!}(\delta y)^3 +  \cdots \tag{##}
</tex>

同様に第三項以降も展開します。

<tex>
\dfrac{\partial_x^2 f(x , y+\delta y)}{2!} = \dfrac{\partial_x^2 f(x , y)}{2!} + \dfrac{\partial_y \partial_x^2 f(x , y)}{1!2!}\delta y + \dfrac{\partial_y^2 \partial_x^2f(x , y)}{2!2!}(\delta y)^2 + \cdots \tag{##}
</tex>

<tex>
\dfrac{\partial_x^3 f(x , y+\delta y)}{3!} = \dfrac{\partial_x^3 f(x , y)}{3!} + \dfrac{\partial_y \partial_x^3 f(x , y)}{1!3!}\delta y + \cdots \tag{##}
</tex>

<tex>
\dfrac{\partial_x^4 f(x , y+\delta y)}{4!} = \dfrac{\partial_x^4 f(x , y)}{4!} + \cdots \tag{##}
</tex>

よって、これらを合わせると、

<tex>
f(x + \delta x, y + \delta y) &= f(x,y) + \dfrac{\partial_y f(x , y)}{1!}\delta y + \dfrac{\partial_y^2 f(x , y)}{2!}(\delta y)^2 + \dfrac{\partial_y^3 f(x , y)}{3!}(\delta y)^3 + \dfrac{\partial_y^4 f(x , y)}{4!}(\delta y)^4 + \cdots \\
&+ \dfrac{\partial_x f(x , y)}{1!}\delta x + \dfrac{\partial_y \partial_x f(x , y)}{1!1!}\delta y\delta x + \dfrac{\partial_y^2 \partial_xf(x , y)}{2!1!}(\delta y)^2\delta x + \dfrac{\partial_y^3 \partial_xf(x , y)}{3!1!}(\delta y)^3\delta x +  \cdots \\
&+ \dfrac{\partial_x^2 f(x , y)}{2!}(\delta x)^2 + \dfrac{\partial_y \partial_x^2 f(x , y)}{1!2!}\delta y(\delta x)^2 + \dfrac{\partial_y^2 \partial_x^2f(x , y)}{2!2!}(\delta y)^2 (\delta x)^2 + \cdots \\ 
&+ \dfrac{\partial_x^3 f(x , y)}{3!}(\delta x)^3 + \dfrac{\partial_y \partial_x^3 f(x , y)}{1!3!}\delta y(\delta x)^3 + \cdots \\
&+ \dfrac{\partial_x^4 f(x , y)}{4!}(\delta x)^4 + \cdots  \tag{##}
</tex>

この展開の中で二つとして同じ項はありません。
よって、式 $(1)$ の直観的理解は達成されたと思います。

今日はここまで。お疲れ様でした。

@@author:クロメル@@
@@accept:2018-02-03@@
@@category:物理数学@@
@@id:taylorMultivariable@@
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