記事ソース/多変数の変数系の微分の逆変換 - 物理のかぎプロジェクトWiki

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記事ソース/多変数の変数系の微分の逆変換†

これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）．
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=========================================================================
多変数の変数系の微分の逆変換
=========================================================================

皆さんは、極座標つまり $(x,y)$ と $(r , \theta)$ の変換行列（ヤコビアン）を見て [*]_ 、

.. [*]  $r= \sqrt{x^2+y^2}, \theta = \tan^{-1}(y/x)$ ですね。

<tex>
\dfrac{\partial r}{\partial x} \neq (\dfrac{\partial x}{\partial r})^{-1} \tag{##}
</tex>

であることに戸惑った経験はありませんか？

そういうことができるのは、どんな時なのかということについて調べてみました。

具体例(２次元極座標)
=========================

<tex>
x = r \cos \theta, y = \sin \theta \tag{##}
</tex>

<tex>
r= \sqrt{x^2+y^2}, \theta = \tan^{-1}(y/x) \tag{##}
</tex>

の微分形式を考えてみます。

<tex>
\begin{pmatrix}
d r \\
d \theta
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial r}{\partial x} & \dfrac{\partial r}{\partial y} \\
\dfrac{\partial \theta}{\partial x} & \dfrac{\partial \theta}{\partial y}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d x \\
d y
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\
\dfrac{-y}{x^2+y^2} & \dfrac{x}{x^2+y^2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d x \\
d y
\end{pmatrix} \\
&= 
\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta /r & \cos \theta /r
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d x \\
d y
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

そして逆変換は、

<tex>
\begin{pmatrix}
d x \\
d y
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\
\dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d r \\
d \theta
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -r \sin \theta \\
\sin \theta & r \cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d r \\
d \theta
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

ですね。確かに、

<tex>
\dfrac{\partial r}{\partial x} = \cos \theta \neq (\cos \theta)^{-1} = (\dfrac{\partial x}{\partial r})^{-1} \tag{##}
</tex>

<tex>
\dfrac{\partial \theta}{\partial y} = \cos \theta/r \neq (r \cos \theta)^{-1} = (\dfrac{\partial y}{\partial \theta })^{-1} \tag{##}
</tex>

と逆関数の微分法は成り立っていないようです。

一般論
==========================

ここで、一般的な場合に拡張して関係を調べてみましょう。変数同士の変換行列のランクを落とさないと仮定して、
二対二組 $(a,b),(x,y)$ の変数間の変換を考えます。

<tex>
\begin{pmatrix}
da \\
db
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial a}{\partial x} & \dfrac{\partial a}{\partial y} \\
\dfrac{\partial b}{\partial x} & \dfrac{\partial b}{\partial y}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dx \\
dy
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

という関係が成立していたとすると、仮定より、
上式の行列は逆を持ちます。すると、

<tex>
\begin{pmatrix}
dx \\
dy
\end{pmatrix} 
&=
\dfrac{1}{\dfrac{\partial a}{\partial x}\dfrac{\partial b}{\partial y}-\dfrac{\partial b}{\partial x}\dfrac{\partial a}{\partial y}}
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial b}{\partial y} & -\dfrac{\partial a}{\partial y} \\
-\dfrac{\partial b}{\partial x} & \dfrac{\partial a}{\partial x}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
da \\
db
\end{pmatrix} \\
&\equiv J^{-1} \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial b}{\partial y} & -\dfrac{\partial a}{\partial y} \\
-\dfrac{\partial b}{\partial x} & \dfrac{\partial a}{\partial x}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
da \\
db
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

となります。ここで記号 $\equiv$ はこれでヤコビアン $J$ を定義するという意味です。

これと、

<tex>
\begin{pmatrix}
dx \\
dy
\end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial a} & \dfrac{\partial x}{\partial b} \\
\dfrac{\partial y}{\partial a} & \dfrac{\partial y}{\partial b}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
da \\
db
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

と比較します。すると、

<tex>
J^{-1} \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial b}{\partial y} & -\dfrac{\partial a}{\partial y} \\
-\dfrac{\partial b}{\partial x} & \dfrac{\partial a}{\partial x}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial a} & \dfrac{\partial x}{\partial b} \\
\dfrac{\partial y}{\partial a} & \dfrac{\partial y}{\partial b}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

という関係が成立します。

再び極座標
================================

さて、得られた結果の検証をしてみましょう。 $(a,b,x,y) \to (r,\theta,x,y) $ とすると、

まず、式 $(4)$ より、

<tex>
J = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)/r = 1/r \tag{##}
</tex>

となります。はたして、等式は成り立つのでしょうか？式 $(11)$ の右辺は、

<tex>
J^{-1} \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial \theta}{\partial y} & -\dfrac{\partial r}{\partial y} \\
-\dfrac{\partial \theta}{\partial x} &  \dfrac{\partial r}{\partial x}
\end{pmatrix}
&=
r \begin{pmatrix}
\cos \theta/r & - \sin \theta \\
\sin \theta/r & \cos \theta
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & - r \sin \theta \\
\sin \theta & r \cos \theta
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\
\dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

見事、成り立ちましたね。変数の数を増やし一般化してまとめておくと、

.. important::

	N変数 $(x_i)$ からN変数 $(y_i)$ への変換はランク落ちしない限り、変換行列の逆行列を考えることによって、
	逆変換が得られる。なお、この時には一般に $\dfrac{dy_i}{dx_j}= (\dfrac{dx_j}{dy_i})^{-1} $ は成立しない。

では、熱力学でよく使われる変数の微分形はどうなのでしょう？

いよいよ熱力学の話
================================

なじみがあると思われる式から始めましょう。

<tex>
dU = TdS -pdV \tag{##}
</tex>

この式は、一変数 $ U $ に対し、二変数 $S,V$ の関数となっています。

熱力学では、等温過程、等圧過程、定積過程、断熱過程など様々な経路を指定して、
その種々の量を計算するのでした。つまり、それは二変数の自由度を持っていた関数形に、
例えば、エントロピー $S$ の任意の関数 $g(S)$ を用いて、

<tex>
dV = g(S)dS \tag{##}
</tex>

などの変化方向に制限をつけることになります。すると、なんと、

<tex>
dU &= \left( \dfrac{\partial U}{\partial S} \right)_V dS + \left( \dfrac{\partial U}{\partial V} \right)_S dV \\
&= TdS -pdV \\
&= TdS -pg(S)dS \\
&= (T-pg(S))dS \tag{##}
</tex>

より、

<tex>
\dfrac{dU}{dS} &= (T-pg(S)) \\
&= (\dfrac{dS}{dU})^{-1}
\tag{##}
</tex>

となり、お馴染みのインバース（逆数）の関係が出てきました。

もう一言付け足すとすれば、等積過程 $dV=0$ の場合、 $g(S)=0$ であり、

<tex>
(\dfrac{dU}{dS})_V = (\dfrac{\partial U}{\partial S})_V = T = (\dfrac{\partial S}{\partial U})_V^{-1}=(\dfrac{dS}{dU})_V^{-1}
</tex>

となります。これはお馴染みの関係ではないでしょうか？
これもまたまとめておきます。

.. important::

	熱力学的関係式に於いて、ピストンの変化軌道を決定したら、1変数 $x$ から1変数 $y$ への変換となる。その変換が
	ランク落ちしない限り、変換の同じ過程（制限）の逆を考えることによって、 逆変換が得られる。なお、
	この時には $\dfrac{dy}{dx}= (\dfrac{dx}{dy})^{-1} $ は成立する。

つまり
========================

今考えている変換が、一変数対一変数の時のみ逆数の関係が成立し、
多変数同士の変換では、変換行列の逆行列が正しい逆を与えるということのようです。
今日はこの辺で、お疲れ様でした。

@@author:クロメル@@
@@accept:2013-05-19@@
@@category:熱力学@@
@@id:invOfDifOfMPF@@
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