記事ソース/新たな積分の形式
メニュー現在 7 名がオンラインです。 最新の25件2023-12-12
2023-11-11
2023-11-06
2023-07-15
2022-09-14
2022-07-01
2022-06-12
2022-04-13
2021-12-03
2021-10-07
2021-08-12
2021-07-26
2021-06-30
2021-06-06
2021-05-02
2021-04-17
2021-03-20
2021-03-19
2021-03-11
|
記事ソース/新たな積分の形式†これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）． コンバート公開・更新メニュー ▼▲記事ソースの内容============================================================
新たな積分の形式
============================================================
小ネタです。あらたな積分の形式を考えてみました。
でも残念なことに、応用には向かなさそうです。
復習（高校でならう積分）
========================
高校でならう積分の復習をしてみます。
リーマン積分ってやつですね。
ちょっとおおざっぱですが、お許しください。
関数f(x)のaからbまでの定積分を定義するには、
まず区間 $[a,b]$ をn等分してできる、n+1個の分割点に
$x_i\ \ (i=0,1,\cdots,n)$ と名前をつけます。 [*]_
そして、その間隔を $\Delta x = x_{i+1} - x_i = \frac{b-a}{n}$ とします。
.. [*] 具体的な書くと $x_i = a + \frac{(b-a)i}{n}$ です。
そこで、定積分を以下のように定義するのでした。
<tex>
\int_0^x f(x) dx &\equiv \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x \\
&= (b-a) \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \frac{1}{n}
</tex>
ここで、 $b-a$ を前に出したのは、今後の布石です。
最後の行をよく見てみると、（b-a）×（ｎ個の点でのf(x)の値の平均）になっていますよね。
つまり、すべての点の平均値に区間の長さをかければ、曲線の下の面積になるわけです。
新たな積分
========================
ここで、今回のメインコンテンツは、
さっき出てきた平均を、相加平均じゃなくて相乗平均にしてしまおうというのが、
基本のアイディアです。では、さっそく変えてみましょう。
簡単のため、区間 $[a,b]$ ではなく、区間 $[0,1]$ にしておきます。
汎関数の一種なので、 $\pi(f)|_0^1$ とでも、表現しましょうか。
<tex>
\pi(f)|_0^1 &\equiv \lim_{n \to \infty} \left( \prod_{i=1}^n f(x_i) \right)^{1/n} \\
&= \lim_{n \to \infty} e^{\log \left( \prod_{i=1}^n f(x_i) \right)^{1/n}} \\
&= \lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \log f(x_i) } \\
&= \lim_{n \to \infty} e^{\Delta x \sum_{i=1}^n \log f(x_i)} \\
&= e^{\int_0^1 \log f(x) dx}
</tex>
なんだ、結局既存の計算手法で表現できるものでしたね。
拡張するには、出てきた定積分の区間を $[a,b]$ とするのが、自然だと思います。
以下に、一般の形を書きます。
新たな積分のまとめ
========================
関数 $f(x)$ の区間 $[a,b]$ での新たな定積分は、
<tex>
\pi(f)|_a^b \equiv e^{\int_a^b \log f(x) dx}
</tex>
となります。
$f(x)$ がゼロになる区間を含んでいると、すべて１になってしまうので、
いまいち使い勝手が悪いなぁというのが正直な感想です。
新たな積分の応用
========================
元にあるのは、相乗平均ですから、連続変数であって、
大域的には指数関数的変動をする変数の単位時間当たりの
変動倍率をもとめる時なんかに使えるかなぁ？
それは、
<tex>
\frac{\pi(f)|_a^b}{e^{b-a}} = e^{\frac{\int_a^b \log f(x) dx}{\int_a^b dx}}
</tex>
で求められます。
積分の他の拡張
========================
平均を調和平均にした場合、詳しくは書きませんが同様に、
<tex>
\eta(f)_0^1 &\equiv \lim_{n \to \infty} n \times \left( \sum_{i=1}^n \frac{1}{f(x_i)} \right)^{-1} \\
&= \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=1}^n \frac{1}{f(x_i)n} \right)^{-1} \\
&= \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=1}^n \frac{\Delta x}{f(x_i)} \right)^{-1} \\
&= \left( \int_0^1 \frac{1}{f(x)} dx \right)^{-1}
</tex>
同様に区間を一般化して、
<tex>
\eta(f)_a^b \equiv \left( \int_a^b \frac{1}{f(x)} dx \right)^{-1}
</tex>
となります。
これは、例えば無限に細い単位長さあたりの抵抗の異なる抵抗を束ねた時、
全体の抵抗はどうなるか計算できます。
最後に幾何平均と調和平均が定義できるためには、区間[a,b]に於いて、f(x)>0が必要であることを付け加えておきます。
それでは、今日はこの辺で。
ごきげんよう(^o^)/~
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-04-21@@
@@category:物理数学@@
@@id:newIntegral@@
|
