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記事ソース/場のラグランジアンの使い方†これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です(詳細). コンバート公開・更新メニュー ▼▲記事ソースの内容============================================================ 場のラグランジアンの使い方 ============================================================ この記事では、中性スカラー場のラグランジアンから、 オイラー・ラグランジュ方程式を使って、運動方程式を導きます。 その計算過程を詳しく示すのが目的です。 ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式 ================================================ ここではラグランジアン $\mathcal{L}$ を次の様に定めます。 <tex> \mathcal{L} = \dfrac{1}{2}\partial_{\mu} \phi \partial^{\mu} \phi - \dfrac{1}{2} \mu^2 \phi^2 - \dfrac{1}{4!} \lambda \phi^4 \tag{##} </tex> これをオイラー・ラグランジュ方程式に代入します。それは次で示します。 <tex> \dfrac{\delta S}{\delta \phi} = \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_{\nu} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\nu} \phi) } \right) = 0 \tag{##} </tex> 計算の実行 ===================== さて、まず中辺第一項を求めます。これはまあそんなに難しくないです。 <tex> \delta S_1 &= \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi \\ &= \left(- \dfrac{1}{2} \mu^2 (\phi+\delta \phi)^2 - \dfrac{1}{4!} \lambda (\phi+\delta \phi)^4 \right) - \left( - \dfrac{1}{2} \mu^2 \phi^2 - \dfrac{1}{4!} \lambda \phi^4 \right) \\ &= - \left\{ \dfrac{1}{2} \mu^2 \left( (\phi^2+ 2 \phi \delta \phi) - \phi^2 + o(\delta \phi^2) \right) \right\} - \left\{ \dfrac{1}{4!} \lambda \left( (\phi^4+ 4 \phi^3 \delta \phi) - \phi^4 + o(\delta \phi^2) \right) \right\} \\ &= - \mu^2 \phi \delta \phi - \dfrac{1}{4!} 4 \lambda \phi^3 \delta \phi \\ &= - \mu^2 \phi \delta \phi - \dfrac{1}{3!} \lambda \phi^3 \delta \phi \tag{##} </tex> ですね。 だから、 <tex> \dfrac{\delta S_1}{\delta \phi} &= - \mu^2 \phi - \dfrac{1}{3!} \lambda \phi^3 \tag{##} </tex> となります。ここでは微小量 $\delta \phi$ を用いましたが、これは要は $\dfrac{\partial}{\partial \phi}$ を作用させる事と同等です。次では $\delta (\partial_\mu \phi)$ を使うのが本来でしょうが、非常に見づらいので $\dfrac{\partial}{\partial (\partial \phi)}$ で計算することにします。さて、次が僕が戸惑ってしまった計算です。 <tex> \dfrac{\delta S_2}{\delta \phi} &= - \partial_{\nu} \left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\nu} \phi) } \right) \\ &= - \partial_{\nu} \left( \dfrac{\partial}{\partial (\partial_{\nu} \phi)} \dfrac{1}{2} \partial_{\mu} \phi \partial^{\mu} \phi \right) \\ &= - \partial_{\nu} \left( \dfrac{\partial}{\partial (\partial_{\nu} \phi)} \dfrac{1}{2} g^{\mu \rho} \partial_{\mu} \phi \partial_{\rho} \phi \right) \\ &= - \partial_{\nu} \left( \dfrac{1}{2} g^{\mu \rho} \delta_{\mu}^{\nu} \partial_{\rho} \phi + \dfrac{1}{2} g^{\mu \rho} \partial_{\mu} \phi \delta_{\rho}^{\nu} \right) \\ &= - \dfrac{1}{2} g^{\mu \rho} \partial_{\mu} \partial_{\rho} \phi - \dfrac{1}{2} g^{\mu \rho} \partial_{\rho} \partial_{\mu} \phi \\ &= - \dfrac{1}{2} \partial^{\rho} \partial_{\rho} \phi - \dfrac{1}{2} \partial^{\mu} \partial_{\mu} \phi \\ &= - \partial^{\mu} \partial_{\mu} \phi \\ &= - \Box \phi \tag{##} </tex> よって、 式 $(2)$ は、 <tex> \dfrac{\delta (S_1+S_2)}{\delta \phi} &= - \mu^2 \phi - \dfrac{1}{3!} \lambda \phi^3 - \Box \phi = 0 \\ \left( \Box + \mu^2 \right) \phi &= - \dfrac{1}{3!} \lambda \phi^3 \tag{##} </tex> と書けるわけです。今日はここまで、お疲れさまでした! @@reference: 九後汰一郎,ゲージ場の量子論I,培風館,1989,p21,4563024236@@ @@author:クロメル@@ @@accept:2019-03-28@@ @@category:量子力学@@ @@id:fieldDerivative@@ |