物理のかぎしっぽ 記事ソース/弱い力の変換則(非可換ゲージ場SU(2))

記事ソース/弱い力の変換則(非可換ゲージ場SU(2))

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記事ソースの内容

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弱い力の変換則(非可換ゲージ場SU(2))
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この記事では弱い力の変換性

<tex>
W^\prime_\mu = UW_\mu U^\dagger + \left( \dfrac{2i}{g_2} \right) \left( \partial_\mu U \right) U^\dagger \tag{##}
</tex>

の右辺第二項の計算を見ます。右辺第一項は大域的変換で"3次元アイソスピン空間"での回転を表します。第二項は局所的な変換対称性を表し、 $ Z = \left( \partial_\mu U \right) U^\dagger $ と置きます。参考文献として、コッティンガム、グリーンウッド共著、樺沢宇紀訳『素粒子標準模型入門』(丸善出版)から、基本設定を使わせて頂きます。

基本設定
==============

まず、群 $SU(2)$ の任意の要素は3つの実数 $\alpha_k$ とパウリ行列 $\sigma$ を用いて、

<tex>
U = \exp (-i \alpha_k \sigma^k) \tag{##}
</tex>

と書けます。そして、パウリ行列は

<tex>
\sigma_1 &= 
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 
\end{pmatrix} \\
\sigma_2 &= 
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 
\end{pmatrix} \\
\sigma_3 &= 
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

です。弱い力の非可換ゲージ場

<tex>
W_\mu(x) &= W_\mu^k(x) \sigma^k \\
&=
\begin{pmatrix}
W_\mu^3 & W_\mu^1 - i W_\mu^2 \\
W_\mu^1 + i W_\mu^2 & - W_\mu^3 
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
W_\mu^3 & \sqrt{2} W_\mu^+ \\
\sqrt{2} W_\mu^- & - W_\mu^3 
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

を表します。
量子場としての $W_\mu^+$ は $W^+$ ボゾンの消滅演算子( $W^-$ ボゾンの生成演算子)であり、
また、 $W_\mu^-$ は $W^-$ ボゾンの消滅演算子( $W^+$ ボゾンの生成演算子)です。
そして、 $W_\mu^3$ は $Z$ ボゾンと光子 $\gamma$ の混合粒子からなる中性粒子の生成消滅演算子(Zボゾンの反粒子はZボゾンであり、光子γの反粒子も光子γです。すみません。本当に反粒子が自己自身の場合、生成演算子と消滅演算子が同じものなのか、分かりませんでした。光子には小出昭一郎『量子力学II』裳華房とかだと、生成演算子と消滅演算子は違うものみたいなんですが。。)
また、下添え字 $\mu$ はベクトルポテンシャル $A_\mu$ と同じく座標変数 $t,x,y,z$ でラベルされます。

SU(2)の元
=================

さて、 $U$ の具体形を見てみましょう。リー群 $SU(2)$ の元と言うことで表現はいくつかあるようですが、
取りあえず今回はパウリ行列を選びました。
式 $(1)$ は、

<tex>
U &= \exp (-i \alpha^k \sigma^k) \\
&= \exp \left( -i 
\begin{pmatrix}
\alpha_3 & \alpha_1 -i \alpha_2 \\
\alpha_1 +i \alpha_2 & -\alpha_3
\end{pmatrix} \right)
\tag{##}
</tex>

ここで、

<tex>
A =
\begin{pmatrix}
\alpha_3 & \alpha_1 -i \alpha_2 \\
\alpha_1 +i \alpha_2 & -\alpha_3
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

と置くと、 $I$ を単位行列、 $\beta^2 = \alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2$ として、

<tex>
A^2 = \beta^2 I
\tag{##}
</tex>

が成立します。つまり、これで $\exp$ の計算が実行でき、

<tex>
U &= \exp (-i \alpha^k \sigma^k) \\
&= \exp \left( -iA \right) \\
&= I -iA + \dfrac{(-iA)^2}{2!} + \dfrac{(-iA)^3}{3!} + \dfrac{(-iA)^4}{4!} + \cdots \\
&= I -iA - \dfrac{\beta^2 I}{2!} + i \dfrac{\beta^2 A}{3!} + \dfrac{\beta^4 I}{4!} + \cdots \\
&= \cos \beta I - \dfrac{i}{\beta}\sin \beta A \\
&= \begin{pmatrix}
\cos \beta - i \dfrac{\sin \beta}{\beta}\alpha_3 & -i \dfrac{\sin \beta}{\beta}(\alpha_1 -i \alpha_2) \\
-i \dfrac{\sin \beta}{\beta}(\alpha_1 +i \alpha_2) & \cos \beta + i \dfrac{\sin \beta}{\beta} \alpha_3
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

となります。これは確かに
<tex>
\det U &= \cos^2 \beta + \left( \dfrac{\sin \beta}{\beta} \right)^2 \alpha_3^2 + \left( \dfrac{\sin \beta}{\beta} \right)^2 ( \alpha_1^2 + \alpha_2^2 ) \\
&= \cos^2 \beta + \sin^2 \beta \dfrac{\beta^2}{\beta^2} \\
&= 1
\tag{##}
</tex>

より、ユニタリー行列です。

Zの計算
===================

式 $(8)$ を微分して、 $U^\dagger$ を掛ければ目的の $\left( \partial_\mu U \right) U^\dagger$ が得られる訳です。
ここで、 $\dfrac{\partial}{\partial x_\mu}X$ を $\dot{X}$ で表すことにします。 $\alpha_k(x)$ を $x_\mu$ で微分するので、各 $\mu$ に関して、構造は同じと分かりますから、そう略記できる訳です。

<tex>
U &= \cos \beta I - \dfrac{i}{\beta}\sin \beta A \\
\partial_\mu U &= - \sin \beta \dot{\beta} I - i \dfrac{\cos \beta \dot{\beta}}{\beta} A + i \dfrac{\sin \beta \dot{\beta}}{\beta^2} A - i \dfrac{\sin \beta}{\beta} \dot{A} \\
U^\dagger &= \cos \beta I + \dfrac{i}{\beta}\sin \beta A  \tag{##}
</tex>

より、

<tex>
Z &= (\partial_\mu U) U^\dagger \\
&= \left( - \sin \beta \dot{\beta} I - i \dfrac{\cos \beta \dot{\beta}}{\beta} A + i \dfrac{\sin \beta \dot{\beta}}{\beta^2} A - i \dfrac{\sin \beta}{\beta} \dot{A} \right) \left( \cos \beta I + \dfrac{i}{\beta}\sin \beta A \right) \\
&= -\dot{\beta} \sin \beta \cos \beta I -i \dfrac{\cos^2 \beta \dot{\beta}}{\beta} A + i \dfrac{\sin \beta \cos \beta \dot{\beta}}{\beta^2}A - i \dfrac{\sin \beta \cos \beta}{\beta} \dot{A} \\
&-i \dfrac{\sin^2 \beta \dot{\beta}}{\beta} A + \dot{\beta} \sin \beta \cos \beta I - \dfrac{\sin^2 \beta \dot{\beta}}{\beta} I + \dfrac{\sin^2 \beta}{\beta^2}\dot{A} A \\
&= -i \dfrac{\dot{\beta}}{\beta} A + i \dfrac{\sin \beta \cos \beta}{\beta^2}(\dot{\beta}A- \beta \dot{A}) + \dfrac{\sin^2 \beta}{\beta^2}(-\beta \dot{\beta}I + \dot{A}A)
\tag{##}
</tex>

ここで、

<tex>
\dot{A} = \begin{pmatrix}
\dot{\alpha_3} & \dot{\alpha_1} -i \dot{\alpha_2} \\
\dot{\alpha_1} +i \dot{\alpha_2} & -\dot{\alpha_3}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

であり、

<tex>
\dot{\beta} = \dfrac{\alpha_1 \dot{\alpha_1} + \alpha_2 \dot{\alpha_2} + \alpha_3 \dot{\alpha_3}}{\sqrt{\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2}}
\tag{##}
</tex>

であり、

<tex>
A^2 &= \beta^2 I \\
\dot{A}A + A\dot{A} &= 2 \beta \dot{\beta} I
\tag{##}
</tex>

より、更に計算を進めて、

<tex>
Z &= -i \dfrac{\dot{\beta}}{\beta} A + i \dfrac{\sin \beta \cos \beta}{\beta^2}(\dot{\beta}A- \beta \dot{A}) + \dfrac{\sin^2 \beta}{\beta^2}(-\beta \dot{\beta}I + \dot{A}A) \\
&= -i \dfrac{\dot{\beta}}{\beta} A + i \dfrac{\sin \beta \cos \beta}{\beta^2}(\dot{\beta}A- \beta \dot{A}) + \dfrac{\sin^2 \beta}{\beta^2}(-\dfrac{\dot{A}A + A\dot{A}}{2} + \dot{A}A) \\
&= -i \dfrac{\dot{\beta}}{\beta} A + i \dfrac{\sin \beta \cos \beta}{\beta^2}(\dot{\beta} A- \beta \dot{A}) + \dfrac{\sin^2 \beta}{2 \beta^2}(\dot{A} A - A \dot{A})
\tag{##}
</tex>

となります。
ただし、

<tex>
\alpha_i \dot{\alpha_j} - \alpha_j \dot{\alpha_i} =: K_{ij} \tag{##}
</tex>

として、

<tex>
\dot{A} A - A \dot{A} &= -i \begin{pmatrix}
K_{12} & K_{23} -i K_{31} \\
K_{23} +i K_{31} & K_{12}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

となっています。
力技でここまで来ましたが、もっと エレガントな方法_ をご紹介頂いたので、リンクを張っておきます。
今日はこの辺で、お疲れさまでした。

.. _エレガントな方法: http://physnakajima.html.xdomain.jp/SU(2)_gauge.pdf

@@reference: コッティンガム、グリーンウッド共著、樺沢宇紀訳,素粒子標準模型入門,丸善出版,2012,p1391-p163,462106195X@@

@@author:クロメル@@
@@accept:2020-01-15@@
@@category:量子力学@@
@@id:vectorGaugeFieldSU2@@
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